Um arranjo cilindro-pistão contém
de uma gás, inicialmente a 200 kPa . Neste estado, uma mola linear com constante de mola igual a
está tocando o pistão, mas sem exercer qualquer força sobre ele. Em seguida, calor é transferido para o gás, fazendo com que o pistão se desloque para cima e comprima a mola até dobrar o volume do cilindro. Se a seção transversal do pistão for
, determine a pressão final dentro do cilindro.
Passo 1
Beleza, olha só o enunciado: temos um pistão de área A = 0,25 m² sobre um gás que, no início, ocupa V₁ = 0,05 m³ e está a p₁ = 200 kPa. Encostada ao pistão há uma mola linear (constante k = 150 kN/m) que, nesse estado inicial, não faz força nenhuma. Aí a gente esquenta o gás, ele empurra o pistão pra cima, a mola vai compressando até o volume dobrar (V₂ = 2·V₁). O que pedem? A pressão final p₂ do gás.
Conteúdo: equilíbrio de forças (estática) e lei de Hooke para mola. Vamos usar:
Conteúdo: equilíbrio de forças (estática) e lei de Hooke para mola. Vamos usar:
- Fₘₒₗₐ = k·x (Lei de Hooke)
- p·A = forças externas totais (atmosfera + mola)
Passo 2
Primeiro, descobrimos quanto o pistão se desloca. Se o volume dobra, V₂ = 0,10 m³. Como V = A·h (altura do “tubo”), temos:
h₁ = V₁/A = 0,05 ÷ 0,25 = 0,20 m
h₂ = V₂/A = 0,10 ÷ 0,25 = 0,40 m
Logo o deslocamento x = h₂ – h₁ = 0,40 – 0,20 = 0,20 m.
h₁ = V₁/A = 0,05 ÷ 0,25 = 0,20 m
h₂ = V₂/A = 0,10 ÷ 0,25 = 0,40 m
Logo o deslocamento x = h₂ – h₁ = 0,40 – 0,20 = 0,20 m.
Passo 3
Agora a mola. Pela lei de Hooke:
Com k = 150 kN/m = 150 000 N/m e x = 0,20 m:
Passo 4
Equilíbrio de forças no pistão:
p₂·A = p_{\rm atm}·A + F_{\rm mola}.
Como no início a mola não fazia força, p_{\rm atm} = p₁ = 200 kPa. Então:
p₂·A = p_{\rm atm}·A + F_{\rm mola}.
Como no início a mola não fazia força, p_{\rm atm} = p₁ = 200 kPa. Então:
Passo 5
Calculando o acréscimo de pressão da mola:
Então
Resposta
A pressão final dentro do cilindro é 320 kPa.