Um arranjo cilindro-pistão contém 0,05 m^3 de uma gás, inicialmente a 200 kPa . Neste estado, uma mola linear com constante de mola igual a 150 kN / m está tocando o pistão, mas sem exercer qualquer força sobre ele. Em seguida, calor é transferido para o gás, fazendo com que o pistão se desloque para cima e comprima a mola até dobrar o volume do cilindro. Se a seção transversal do pistão for 0,25 m^2, determine o trabalho total realizado pelo gás.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que rolou:
– Temos um cilindro com pistão que contém inicialmente Vi = 0,05 m^3 de gás a 200 kPa.
– Encostada no pistão está uma mola linear (constante k = 150 kN/m), mas sem comprimir nada ainda.
– A gente aquece o gás até o volume dobrar, ou seja, Vf = 2Vi = 0,10 m^3.
– A área da seção do pistão é A = 0,25 m^2.
Matéria: trabalho de força variável em termodinâmica (força de mola).
O que precisamos:
  1. Relacionar deslocamento x do pistão com a variação de volume De.
  2. Usar a Lei de Hooke F = kx pra achar a força da mola.
  3. Calcular o trabalho W = integral F,dx (ou em termos de volume, dx = dV/A).

Passo 2

Primeiro, quanto o pistão se desloca quando o volume dobra?
A variação de volume é
De
Como V = A,x, a gente tem
x = De

Passo 3

A mola obedece à Lei de Hooke, que diz:
Frm mola = k,x
Aqui k = 150 kN/m = 150,000 N/m e x varia de 0 até 0,20 m.

Passo 4

O trabalho diferencial que o gás faz contra a mola é
dW = Frm mola,dx
Mas como a gente sabe volume, usamos dV = A,dx;Rightarrow;dx = dVA.
Então
dW = Frm mola,dVA = k,x,dVA
E x em função de V é x = (V - Vi)/A.

Passo 5

Agora integramos de Vi até Vf:
W = integralVi^Vf kV - ViA,dVA = kA^2integral0^De
onde fizemos u = V - Vi.
Mas note que (De, então isso dá o clássico
W = tfrac12,k,x^2

Passo 6

Basta substituir:
x = 0,20 m, k = 150,000 N/m
W = tfrac12cdot150,000cdot(0,20)^2 = 0,5cdot150,000cdot0,04 = 3,000 J

Resposta

O trabalho total realizado pelo gás é de 3,0;kJ.

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