(b) Se a função de Gibbs de um sistema deve decrescer durante qualquer processo espontâneo no qual a temperatura e pressão permanecem constantes, mostrar que a entropia de um sistema isolado deve crescer. Sugere-se mostrar que
se incrementa em qualquer processo que inclui uma etapa na qual
diminui.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função de Gibbs e a entropia em processos espontâneos sob temperatura e pressão constantes. Nosso objetivo é mostrar que, em um sistema isolado, a entropia sempre aumenta. Para isso, vamos precisar entender o que é a função de Gibbs, como ela se comporta em processos espontâneos e como a entropia está relacionada a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Gibbs (
). Ela é definida como:
onde
é a entalpia,
é a temperatura e
é a entropia. Em processos a temperatura e pressão constantes, a variação de Gibbs (
) indica a espontaneidade do processo: se
, o processo é espontâneo.
Passo 3
Agora, think about an isolated system. Um sistema isolado não troca nem energia nem matéria com o ambiente, ou seja, sua energia interna (
) é constante. A entropia (
) de um sistema isolado tende a aumentar em processos espontâneos, de acordo com a segunda lei da termodinâmica.
Passo 4
A dica da questão sugere mostrar que
se incrementa em qualquer processo que inclui uma etapa em que
diminui. Vamos relacionar isso com a entropia total do sistema isolado.
Passo 5
Sabemos que para um sistema isolado, a variação da entropia total (
) é a soma da variação da entropia do sistema (
) e da variação da entropia do ambiente (
). Mas, como o sistema é isolado, não há troca com o ambiente, então
.
Passo 6
Considerando que
, e para processos espontâneos a
, podemos rearranjar para
. Em um sistema isolado,
(pois não há troca de energia), então
.
Passo 7
Portanto, se a função de Gibbs deve diminuir (
) em processos espontâneos a temperatura e pressão constantes, isso implica que a entropia total do sistema isolado (
) deve aumentar.
Resposta
Assim, mostramos que a entropia de um sistema isolado sempre aumenta em processos espontâneos a temperatura e pressão constantes.