Uma viga de aço engastada com 1,50 m de comprimento sustenta em sua extremidade livre um motor elétrico de 75 kg que opera na faixa de 800 a 1.200 rpm … A força desbalanceadora foi obtida experimentalmente e pode ser expressa por
, onde
está em newtons e
em rad/s. Determine o momento de inércia da seção reta da viga considerando que a amplitude do deslocamento vibratório do motor não deve ultrapassar a
. Considere que a viga seja de aço
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma viga de aço engastada com 1,50 m de comprimento que segura um motor elétrico de 75 kg na sua extremidade. Esse motor faz umas rotações que geram uma força desbalanceadora, e a gente quer descobrir o momento de inércia da viga para que o deslocamento vibratório não passe de 1 mm. Para isso, vamos precisar usar conceitos de flexão de vigas e vibrações mecânicas, além de algumas fórmulas matemáticas para relacionar força, deslocamento e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força desbalanceadora. Ela é dada pela fórmula $ F_0 = 0,01 \omega^2 $, onde $ F_0 $ está em newtons (N) e $ \omega $ em rad/s. A gente precisa calcular $ \omega $ com base na rotação do motor.
Passo 3
O motor opera entre 800 e 1200 rotações por minuto (rpm). Vamos converter essas rotações para radianos por segundo.
A fórmula para converter rpm para rad/s é:
Vamos calcular para 800 rpm e 1200 rpm:
Para 800 rpm:
Para 1200 rpm:
Passo 4
Agora, vamos calcular a força desbalanceadora $ F_0 $ para os dois casos:
Para $ \omega = 83,78 , rad/s $:
Para $ \omega = 125,66 , rad/s $:
Passo 5
Como queremos que o deslocamento vibratório não ultrapasse 1,0 mm (ou 0,001 m), vamos usar a fórmula da deflexão máxima de uma viga engastada sob uma força no extremo:
Onde:
- $ \delta $ é o deslocamento máximo (0,001 m)
- $ F_0 $ é a força desbalanceadora
- $ L $ é o comprimento da viga (1,50 m)
- $ E $ é o módulo de elasticidade (200 GPa = $ 200 \times 10^9 $ Pa)
- $ I $ é o momento de inércia que queremos encontrar
Passo 6
Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ I $:
Passo 7
Vamos calcular $ I $ para a maior força desbalanceadora, que ocorre em 1200 rpm, ou seja, $ F_0 = 157,91 , N $, para garantir que o deslocamento não ultrapasse 1,0 mm.
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando passo a passo:
Primeiro, $ L^3 = 1,50^3 = 3,375 , m^3 $
Agora, multiplicando:
Resposta
O momento de inércia da seção reta da viga é aproximadamente $ I \approx 8,87 \times 10^{-4} , m^4 $.