Uma viga de aço engastada com 1,50 m de comprimento sustenta em sua extremidade livre um motor elétrico de 75 kg que opera na faixa de 800 a 1.200 rpm … A força desbalanceadora foi obtida experimentalmente e pode ser expressa por F0=0,01 omega^2, onde F0 está em newtons e omega em rad/s. Determine o momento de inércia da seção reta da viga considerando que a amplitude do deslocamento vibratório do motor não deve ultrapassar a 1,0 mm. Considere que a viga seja de aço com E=200 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma viga de aço engastada com 1,50 m de comprimento que segura um motor elétrico de 75 kg na sua extremidade. Esse motor faz umas rotações que geram uma força desbalanceadora, e a gente quer descobrir o momento de inércia da viga para que o deslocamento vibratório não passe de 1 mm. Para isso, vamos precisar usar conceitos de flexão de vigas e vibrações mecânicas, além de algumas fórmulas matemáticas para relacionar força, deslocamento e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força desbalanceadora. Ela é dada pela fórmula $ F_0 = 0,01 \omega^2 $, onde $ F_0 $ está em newtons (N) e $ \omega $ em rad/s. A gente precisa calcular $ \omega $ com base na rotação do motor.

Passo 3

O motor opera entre 800 e 1200 rotações por minuto (rpm). Vamos converter essas rotações para radianos por segundo.
A fórmula para converter rpm para rad/s é:
omega = 2pi times rpm60
Vamos calcular para 800 rpm e 1200 rpm:
Para 800 rpm:
omega = 2pi times 80060 approx 83,78 , rad/s
Para 1200 rpm:
omega = 2pi times 120060 approx 125,66 , rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular a força desbalanceadora $ F_0 $ para os dois casos:
Para $ \omega = 83,78 , rad/s $:
F0
Para $ \omega = 125,66 , rad/s $:
omega = 83,78 , rad/s

Passo 5

Como queremos que o deslocamento vibratório não ultrapasse 1,0 mm (ou 0,001 m), vamos usar a fórmula da deflexão máxima de uma viga engastada sob uma força no extremo:
de
Onde:
  • $ \delta $ é o deslocamento máximo (0,001 m)
  • $ F_0 $ é a força desbalanceadora
  • $ L $ é o comprimento da viga (1,50 m)
  • $ E $ é o módulo de elasticidade (200 GPa = $ 200 \times 10^9 $ Pa)
  • $ I $ é o momento de inércia que queremos encontrar

Passo 6

Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ I $:
I

Passo 7

Vamos calcular $ I $ para a maior força desbalanceadora, que ocorre em 1200 rpm, ou seja, $ F_0 = 157,91 , N $, para garantir que o deslocamento não ultrapasse 1,0 mm.
Substituindo os valores:
I

Passo 8

Calculando passo a passo:
Primeiro, $ L^3 = 1,50^3 = 3,375 , m^3 $
Agora, multiplicando:
L^3 = 1,50^3 = 3,375 , m^3
I = 157,91 times 3,3753 times 200 times 10^9 times 0,001
I = 532,14125600 times 10^6

Resposta

O momento de inércia da seção reta da viga é aproximadamente $ I \approx 8,87 \times 10^{-4} , m^4 $.

Exercícios relacionados