O balanço de energia mecânica fornece uma base para a estimativa da queda de pressão em um escoamento em virtude do atrito. Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo horizontal com a área da seção transversal constante, ele pode ser escrito na forma
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D} f_{F} \rho u^{2}=0
onde f_{F} é o fator de atrito de Fanning. Churchill { }^{11} fornece a seguinte expressão para f_{F} para o escoamento turbulento:
f_{F}=0,3305\left\{\ln \left[0,27 \frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\operatorname{Re}}\right)^{0,9}\right]\right\}^{-2}
onde Re é o número de Reynolds (ver Problema 2.21), e \epsilon D é a rugosidade adimensional da tubulação. O escoamento turbulento é obtido para \mathrm{Re}>3.000.
Considere o escoamento de água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}. Para um dos conjuntos de condições fornecidos a seguir, determine \dot{m} (em \mathrm{kg} \mathrm{s}^{-1} ) e \Delta P / \Delta L (em \mathrm{kPa} \mathrm{m}^{-1} ). Considere \epsilon / D=0,0001. Para a água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}, \rho=996 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}, e \mu=9,0 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. Verifique se o escoamento é turbulento.
D=2 \mathrm{~cm}, u=1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}{ }^{-1}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a vazão mássica \dot{m} em \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Determinar o gradiente de pressão \Delta P/\Delta L em \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.
  • Verificar se o escoamento é turbulento.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro interno do tubo: D=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média do fluido: u=1\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Rugosidade adimensional: \epsilon/D=0,0001.
  • Densidade da água a 25^\circ\mathrm{C}: \rho=996\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\\ m^{-1}\\ s^{-1}}.
  • Fórmula do fator de atrito (Churchill, regime turbulento):
f_F=0{,}3305\left\{\ln\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\right\}^{-2}
  • Equação de balanço (para tubo horizontal, seção constante):
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D}f_F \rho u^{2}=0.

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot{m}.
Fórmula e significado das variáveis:
\dot{m}=\rho A u,
onde A é a área da seção transversal circular do tubo,
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Cálculo do área:
A=\frac{\pi (0{,}02)^{2}}{4}=\pi\times 0{,}0001=3{,}1416\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo da vazão mássica:
\dot{m}=\rho A u = 996\times 3{,}1416\times10^{-4}\times 1 = 0{,}3129\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
Explicação curta: multiplicou-se a massa por volume por segundo que atravessa a seção: densidade vezes área vezes velocidade.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e verificar se o escoamento é turbulento.
Definição e significado:
\mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu},
onde \rho é a densidade, u a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
Cálculo:
\mathrm{Re}=\frac{996\times 1\times 0{,}02}{9{,}0\times10^{-4}}=\frac{19{,}92}{9{,}0\times10^{-4}}=2{,}2133\times10^{4}.
Conclusão: como \mathrm{Re}>3{,}000, o escoamento é turbulento (regime aplicável à fórmula de Churchill). Ótimo — podemos usar a expressão dada para f_F.

Passo 4

Calcular o fator de atrito de Fanning f_F usando a expressão de Churchill.
Relembrando a expressão:
f_F=0{,}3305\left\{\ln\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\right\}^{-2}.
Avaliar os termos internos passo a passo.
Primeiro termo relacionado à rugosidade:
0{,}27\frac{\epsilon}{D}=0{,}27\times 0{,}0001=0{,}000027.
Segundo termo (viscoso/turbulento):
\frac{7}{\mathrm{Re}}=\frac{7}{2{,}2133\times10^{4}}=0{,}0003163\\ (\text{aprox.}),
\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\approx(0{,}0003163)^{0{,}9}=0{,}000709\\ (\text{aprox.}).
Somando os dois dentro do ln:
0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\approx 0{,}000027+0{,}000709=0{,}000736.
Tomando o logaritmo natural:
\ln(0{,}000736)\approx -7{,}21.
Agora a potência -2 do logaritmo e o coeficiente:
\left\{\ln[\cdots]\right\}^{-2}=\frac{1}{(-7{,}21)^{2}}\approx \frac{1}{52{,}0}=0{,}01923.
f_F=0{,}3305\times 0{,}01923\approx 0{,}00635.
Interpretação: f_F é adimensional e, para este caso, vale aproximadamente 6{,}35\times10^{-3}.

Passo 5

Calcular o gradiente de pressão \Delta P/\Delta L usando a equação de balanço.
A equação fornecida:
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D}f_F \rho u^{2}=0
isola-se \Delta P/\Delta L:
\frac{\Delta P}{\Delta L}=-\frac{2}{D}f_F \rho u^{2}.
Substituindo os valores ( D=0{,}02\\ \mathrm{m}, f_F=0{,}00635, \rho=996\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}, u=1\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}):
\frac{2}{D}=\frac{2}{0{,}02}=100\\ \mathrm{m^{-1}},
\frac{\Delta P}{\Delta L}=-100\times 0{,}00635\times 996\times 1^{2}=-632{,}8\\ \mathrm{Pa\\ m^{-1}}.
Converter para \mathrm{kPa\\ m^{-1}}:
-632{,}8\\ \mathrm{Pa\\ m^{-1}}=-0{,}6328\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.
Interpretação: o sinal negativo indica queda de pressão ao longo do comprimento do tubo; o módulo da queda é 0{,}633\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}} aproximadamente.

Passo 6

Resumo final e verificação:
  • Vazão mássica calculada: \dot{m}\approx 0{,}3129\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Gradiente de pressão encontrado: \Delta P/\Delta L\approx -0{,}633\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.
  • O número de Reynolds foi \mathrm{Re}\approx 2{,}21\times10^{4}, logo o escoamento é turbulento e a fórmula de Churchill é aplicável.
Força nos ombros: você já tem os cálculos prontos para anotar na prova — respira e revisa só as contas rápidas!

Resposta

\dot{m}=0{,}3129\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}
\dfrac{\Delta P}{\Delta L}=-0{,}633\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}

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