O balanço de energia mecânica fornece uma base para a estimativa da queda de pressão em um escoamento em virtude do atrito. Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo horizontal com a área da seção transversal constante, ele pode ser escrito na forma
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D} f_{F} \rho u^{2}=0
onde f_{F} é o fator de atrito de Fanning. Churchill { }^{11} fornece a seguinte expressão para f_{F} para o escoamento turbulento:
f_{F}=0,3305\left\{\ln \left[0,27 \frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\operatorname{Re}}\right)^{0,9}\right]\right\}^{-2}
onde Re é o número de Reynolds (ver Problema 2.21), e \epsilon D é a rugosidade adimensional da tubulação. O escoamento turbulento é obtido para \mathrm{Re}>3.000.
Considere o escoamento de água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}. Para um dos conjuntos de condições fornecidos a seguir, determine \dot{m} (em \mathrm{kg} \mathrm{s}^{-1} ) e \Delta P / \Delta L (em \mathrm{kPa} \mathrm{m}^{-1} ). Considere \epsilon / D=0,0001. Para a água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}, \rho=996 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}, e \mu=9,0 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. Verifique se o escoamento é turbulento.
D=5 \mathrm{~cm}, u=1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}{ }^{-1}

Passo 1

O enunciado pede que, para água a 25^\circ\mathrm{C} escoando em um tubo horizontal com D=5{,}0\\ \mathrm{cm} e velocidade média u=1{,}0\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, e com rugosidade adimensional \epsilon/D=0{,}0001, se determine:
  • a vazão mássica \dot{m} (em \mathrm{kg\,s^{-1}});
  • o gradiente de pressão \Delta P/\Delta L (em \mathrm{kPa\,m^{-1}}).
Dados fornecidos (peguei estes do enunciado):
  • \rho = 996\\ \mathrm{kg\,m^{-3}};
  • \mu = 9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}};
  • D = 0{,}05\\ \mathrm{m};
  • u = 1{,}0\\ \mathrm{m\,s^{-1}};
  • \epsilon/D = 0{,}0001.
Equações relevantes que vamos usar (fornecidas/enunciadas):
\frac{\Delta P}{\Delta L} + \frac{2}{D} f_{F}\,\rho\,u^{2}=0,
f_{F}=0{,}3305\left\{\ln\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\right\}^{-2},
\mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu},
\dot{m}=\rho u A,\qquad A=\frac{\pi D^{2}}{4}.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds e explicar o que ele significa.
Breve aula: o número de Reynolds \mathrm{Re} é uma medida adimensional que compara efeitos inerciais com viscosos no escoamento. Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg\,m^{-3}}), u é a velocidade média ( \mathrm{m\,s^{-1}}), D é o diâmetro ( \mathrm{m}) e \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}}). Em tubos, valores típicos: fluxo laminar para \mathrm{Re}<2000, de transição entre \sim2000 e \sim3000, e turbulento para \mathrm{Re}>3000.
Cálculo numérico:
\mathrm{Re}=\frac{996\cdot 1{,}0\cdot 0{,}05}{9{,}0\times 10^{-4}}.
Fazendo as contas:
996\cdot 0{,}05 = 49{,}8,
\mathrm{Re}=\frac{49{,}8}{9{,}0\times10^{-4}}=55333{,}3\\ (\text{aprox.}).
Conclusão: \mathrm{Re}\approx 5,53\times 10^{4}, portanto o escoamento é turbulento (pois \mathrm{Re}>3000) — isto confirma que podemos usar a expressão turbulenta de Churchill.

Passo 3

Avaliar o fator de atrito de Fanning f_{F} usando a fórmula de Churchill, explicando cada termo e computando passo a passo.
Fórmula (relembrando):
f_{F}=0{,}3305\left\{\ln\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\right\}^{-2}.
Vamos calcular o argumento do logaritmo em etapas.
  1. Primeiro termo: 0{,}27\frac{\epsilon}{D}.
0{,}27\frac{\epsilon}{D}=0{,}27\times 0{,}0001=0{,}000027.
  1. Segundo termo: \left(\dfrac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}.
\frac{7}{\mathrm{Re}}=\frac{7}{55333{,}3}=0{,}00012648\\ (\text{aprox.}).
Agora a potência:
\left(0{,}00012648\right)^{0{,}9}=\exp\!\big(0{,}9\ln(0{,}00012648)\big).
Calculando numericamente (mostrando a ideia): \ln(0{,}00012648)\approx -8{,}9746, então
0{,}9\ln(\cdot)\approx -8{,}0771,\quad \exp(-8{,}0771)\approx 0{,}000310\\ (\text{aprox.}).
  1. Somando os termos dentro do logaritmo:
0{,}000027+0{,}000310\approx 0{,}000337.
  1. Logaritmo natural:
\ln(0{,}000337)\approx -7{,}999.
  1. Inverso do quadrado:
\left\{\ln[\cdots]\right\}^{-2}=\frac{1}{(-7{,}999)^{2}}\approx \frac{1}{63{,}99}\approx 0{,}01563.
  1. Finalmente, multiplicar por 0{,}3305:
f_{F}=0{,}3305\times 0{,}01563\approx 0{,}00516.
Portanto:
f_{F}\approx 0{,}00516.
Comentário didático: f_{F} é relativamente pequeno (da ordem de 10^{-3} a 10^{-2} em escoamentos turbulentos em tubos lisos a moderados), e aqui o termo dominante dentro do logaritmo foi (7/\mathrm{Re})^{0{,}9} porque \mathrm{Re} é grande; a rugosidade contribuiu pouco pois \epsilon/D é muito pequeno.

Passo 4

Calcular o gradiente de pressão \Delta P/\Delta L a partir do balanço de energia fornecido, explicando a equação e as unidades.
A equação dada:
\frac{\Delta P}{\Delta L} + \frac{2}{D} f_{F}\,\rho\,u^{2}=0
pode ser reescrita isolando \Delta P/\Delta L:
\frac{\Delta P}{\Delta L}=-\frac{2}{D} f_{F}\,\rho\,u^{2}.
Interpretação: o termo \dfrac{2}{D} f_{F}\rho u^{2} representa a perda de carga por unidade de comprimento devido ao atrito; o sinal negativo indica que a pressão decresce na direção do escoamento.
Agora substituímos os números (mantendo unidades SI: \rho em \mathrm{kg\,m^{-3}}, u em \mathrm{m\,s^{-1}}, D em \mathrm{m}; o resultado fica em \mathrm{Pa\,m^{-1}}):
\frac{\Delta P}{\Delta L} = -\frac{2}{0{,}05}\times 0{,}00516\times 996\times (1{,}0)^{2}.
Calcule passo a passo:
\frac{2}{0{,}05}=40,
0{,}00516\times 996\approx 5{,}144,
40\times 5{,}144\approx 205{,}76\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}.
Portanto
\frac{\Delta P}{\Delta L}\approx -205{,}8\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kPa\,m^{-1}} (dividir por 1000):
\frac{\Delta P}{\Delta L}\approx -0{,}2058\\ \mathrm{kPa\,m^{-1}}.
Observação pedagógica: em muitos problemas reporta-se o valor absoluto da perda de carga (positivo) e o sentido (queda de pressão). Aqui o sinal negativo indica queda de pressão ao longo do comprimento no sentido do escoamento.

Passo 5

Calcular a vazão mássica \dot{m} e explicar a fórmula de área.
A área da seção transversal de um tubo circular:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Com D=0{,}05\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0{,}05)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 0{,}0025}{4}=\pi\cdot 0{,}000625\approx 0{,}0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
A vazão mássica:
\dot{m}=\rho\,u\,A.
Substituindo:
\dot{m}=996\times 1{,}0\times 0{,}0019635\approx 1{,}9556\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
Arredondando de forma sensata (três dígitos significativos):
\dot{m}\approx 1{,}96\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.

Passo 6

Verificação final de consistência e resumo dos resultados (motivação/ânimo: você já dominou os passos principais — Reynolds, fator de atrito, perda de carga e vazão mássica).
Confirmando: \mathrm{Re}\approx 5{,}53\times10^{4}>3000 (escoamento turbulento), f_{F}\approx 0{,}00516, perda de pressão \approx -0{,}206\\ \mathrm{kPa\,m^{-1}} e \dot{m}\approx 1{,}96\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.

Resposta

\dot{m}=1{,}96\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}
\dfrac{\Delta P}{\Delta L}=-0{,}2058\\ \mathrm{kPa\,m^{-1}}

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