O balanço de energia mecânica fornece uma base para a estimativa da queda de pressão em um escoamento em virtude do atrito. Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo horizontal com a área da seção transversal constante, ele pode ser escrito na forma
onde
é o fator de atrito de Fanning. Churchill
fornece a seguinte expressão para
para o escoamento turbulento:
onde Re é o número de Reynolds (ver Problema 2.21), e
é a rugosidade adimensional da tubulação. O escoamento turbulento é obtido para
.
Considere o escoamento de água líquida a
. Para um dos conjuntos de condições fornecidos a seguir, determine
(em
) e
(em
). Considere
. Para a água líquida a
,
, e
. Verifique se o escoamento é turbulento.
Passo 1
O enunciado pede que, para água a
escoando em um tubo horizontal com
e velocidade média
, e com rugosidade adimensional
, se determine:
- a vazão mássica
(em ); - o gradiente de pressão
(em ).
Dados fornecidos (peguei estes do enunciado):
-
; -
; -
; -
; -
.
Equações relevantes que vamos usar (fornecidas/enunciadas):
Passo 2
Calcular o número de Reynolds e explicar o que ele significa.
Breve aula: o número de Reynolds
é uma medida adimensional que compara efeitos inerciais com viscosos no escoamento. Fórmula:
onde
é a densidade do fluido (
),
é a velocidade média (
),
é o diâmetro (
) e
é a viscosidade dinâmica (
). Em tubos, valores típicos: fluxo laminar para
, de transição entre
e
, e turbulento para
.
Cálculo numérico:
Fazendo as contas:
Conclusão:
, portanto o escoamento é turbulento (pois
) — isto confirma que podemos usar a expressão turbulenta de Churchill.
Passo 3
Avaliar o fator de atrito de Fanning
usando a fórmula de Churchill, explicando cada termo e computando passo a passo.
Fórmula (relembrando):
Vamos calcular o argumento do logaritmo em etapas.
- Primeiro termo:
.
- Segundo termo:
.
Agora a potência:
Calculando numericamente (mostrando a ideia):
, então
- Somando os termos dentro do logaritmo:
- Logaritmo natural:
- Inverso do quadrado:
- Finalmente, multiplicar por
:
Portanto:
Comentário didático:
é relativamente pequeno (da ordem de
a
em escoamentos turbulentos em tubos lisos a moderados), e aqui o termo dominante dentro do logaritmo foi
porque
é grande; a rugosidade contribuiu pouco pois
é muito pequeno.
Passo 4
Calcular o gradiente de pressão
a partir do balanço de energia fornecido, explicando a equação e as unidades.
A equação dada:
pode ser reescrita isolando
:
Interpretação: o termo
representa a perda de carga por unidade de comprimento devido ao atrito; o sinal negativo indica que a pressão decresce na direção do escoamento.
Agora substituímos os números (mantendo unidades SI:
em
,
em
,
em
; o resultado fica em
):
Calcule passo a passo:
Portanto
Convertendo para
(dividir por
):
Observação pedagógica: em muitos problemas reporta-se o valor absoluto da perda de carga (positivo) e o sentido (queda de pressão). Aqui o sinal negativo indica queda de pressão ao longo do comprimento no sentido do escoamento.
Passo 5
Calcular a vazão mássica
e explicar a fórmula de área.
A área da seção transversal de um tubo circular:
Com
:
A vazão mássica:
Substituindo:
Arredondando de forma sensata (três dígitos significativos):
Passo 6
Verificação final de consistência e resumo dos resultados (motivação/ânimo: você já dominou os passos principais — Reynolds, fator de atrito, perda de carga e vazão mássica).
Confirmando:
(escoamento turbulento),
, perda de pressão
e
.