Uma corrente gasosa quimicamente reativa escoa em escoamento estacionário através de uma tubulação de área transversal constante. A temperatura e a pressão variam com o comprimento da tubulação. Quais das seguintes grandezas são necessariamente constantes: \dot{m}, \dot{n}, q, u ?
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de escoamento gasoso quimicamente reativo, fornecendo as seguintes informações:
Escoamento estacionário (sem dependência temporal).
Tubulação de área transversal constante.
Temperatura e pressão variam ao longo do comprimento da tubulação.
Ocorrem reações químicas no fluido.
A questão solicita a identificação das grandezas que são necessariamente constantes ao longo da tubulação, dentre as seguintes opções: \dot{m},\\ \dot{n},\\ q,\\ u.
É importante considerar que a tubulação é um ducto fechado (sem entrada/saída de massa pela parede), o escoamento é unidimensional ao longo do eixo do tubo e não há transporte de massa macroscópico através das paredes.
Passo 2
Para uma melhor compreensão, é importante entender o significado físico de cada grandeza:
\dot{m}: representa a vazão mássica total, ou seja, a massa por unidade de tempo que atravessa uma seção.
\dot{n}: representa a vazão molar total, que é o número de mols por unidade de tempo que atravessa uma seção, somando todas as espécies.
q: representa a taxa de calor trocada com o fluido, ou seja, o calor por unidade de tempo recebido/perdido pelo fluido ao longo do escoamento. Deve ser interpretada como a taxa de calor global adicionada/removida ao controle.
u: representa a velocidade média do fluxo no eixo, ou seja, a velocidade do fluido nas seções.
Passo 3
A conservação de massa é fundamental para a análise. A massa é conservada nas reações químicas, onde os átomos são rearranjados, mas a massa total permanece constante. Para um escoamento estacionário unidimensional com área A constante e sem entrada/saída de massa pelas paredes, a continuidade mássica é dada por:
\frac{d}{dx}\bigl(\rho u A\bigr)=0,
onde x é a coordenada ao longo do tubo, \rho é a densidade e u a velocidade. Como A é constante, temos:
Portanto, sob as hipóteses indicadas, \dot{m} é necessariamente constante ao longo do tubo. Isso significa que, mesmo que ocorram reações que transformem os reagentes em produtos, a massa total que entra numa seção do tubo por segundo deve ser a mesma que sai, já que o tubo não perde nem ganha massa pelas paredes. Logo, a vazão mássica \dot{m} não pode variar com x.
Passo 4
Para a vazão molar total \dot{n}, o balanço molar global para escoamento estacionário é dado por:
onde \dot{\omega}_k é a produção molar por unidade de comprimento da espécie k pelas reações. As reações químicas, em geral, alteram o número total de mols (por exemplo, a reação \mathrm{2H_2 + O_2 \to 2H_2O} transforma 3 mols de reagentes em 2 mols de produto). Assim, a soma das produções molares \sum_k \dot{\omega}_k pode ser diferente de zero, o que implica que \dot{n} pode variar com x. Logo, \dot{n} não é necessariamente constante. Por exemplo, se numa seção entra 3 mol/s (mistura de 2 mol/s de A e 1 mol/s de B) e ocorre reação que os transforma em 2 mol/s de produto C, então a vazão molar total na saída será 2 mol/s, o que demonstra que \dot{n} não é constante sem conhecer as reações.
Passo 5
A taxa de calor q adicionada/retirada do fluido ao longo do comprimento não é imposta pelo enunciado. O escoamento pode ser adiabático (q=0) em alguns casos, ou pode haver troca de calor variável ao longo do tubo (paredes isolantes, troca localizada, reações exotérmicas/endotérmicas etc.). Da mesma forma que com a vazão molar, não há nenhuma lei que force q a ser constante ao longo do ducto para o caso geral dado. Portanto, q não é necessariamente constante.
Passo 6
Para a velocidade u, utilizando a relação já obtida:
u=\frac{\dot{m}}{\rho A}.
Sabendo que \dot{m} e A são constantes, mas que o enunciado diz explicitamente que pressão P e temperatura T variam com x, a densidade \rho também varia (pelo estado do gás). Por exemplo, para uma mistura gasosa ideal:
\rho=\frac{P\overline{M}}{R_u T},
onde \overline{M} é a massa molar média da mistura e R_u é a constante universal dos gases. Como P e T (e possivelmente \overline{M} devido a mudanças de composição) variam com x, \rho varia, logo u também varia para satisfazer u=\dot{m}/(\rho A). Assim, u não é necessariamente constante.
Passo 7
Em resumo:
\dot{m}: necessariamente constante (conservação de massa, tubulação sem perda/ganho de massa pela parede).
\dot{n}: não necessariamente constante (reações podem mudar o número total de mols).
q: não necessariamente constante (troca de calor pode variar ao longo do tubo).
u: não necessariamente constante (variações de P, T e composição mudam \rho e, com \dot{m} fixo, mudam u).