Um fluido incompressível (
constante) escoa através de uma tubulação com área da seção transversal constante. Se o escoamento é estacionário, mostre que a velocidade
e a vazão volumétrica
são constantes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O fluido é incompressível, isto é, a massa específica
é constante. - A tubulação tem área da seção transversal constante; denoto essa área por
. - O escoamento é estacionário (steady), ou seja, não depende do tempo.
A pergunta é: mostrar que a velocidadee a vazão volumétrica são constantes (no espaço e no tempo, conforme o contexto dado).
Passo 2
Definições e ideia física que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Vazão volumétrica: por definição a vazão volumétrica
é o volume de fluido que atravessa a seção por unidade de tempo. Para um escoamento unidimensional e área constante,
onde
é a velocidade média do fluido na seção (unidade de comprimento por tempo).
- Conservação de massa (forma integral, ideia física): escolha um volume de controle formado por um trecho da tubulação entre duas seções perpendiculares aos eixos em
e . Em regime estacionário, a massa que entra por por unidade de tempo deve ser igual à massa que sai por por unidade de tempo (não há acúmulo nem variação temporal dentro do volume de controle).
Passo 3
Aplicando a conservação de massa na forma de balanço de fluxo de massa (forma integral, detalhada).
- Massa que entra por unidade de tempo na seção
: (densidade) vezes o volume por unidade de tempo que atravessa, isto é . - Massa que sai por unidade de tempo na seção
: . - Em regime estacionário, não há variação de massa dentro do trecho, logo as duas taxas devem ser iguais:
- Como
é constante e é dada como constante, pode-se cancelar dos dois lados, obtendo
- Essa igualdade vale para quaisquer
e dentro da tubulação considerada; portanto não depende da posição : isto é,
Passo 4
Derivação alternativa (mais matemática) usando a equação de continuidade diferencial em 1D — útil para entender a mesma ideia sob outra forma.
- A equação de continuidade geral em 1D é
- Para escoamento estacionário temos
, então
- Como o fluido é incompressível
é constante, pode-se tirar para fora da derivada:
-
é não nula, logo
o que implica que
é constante em
. Esta conclusão coincide com a obtida no passo anterior, mas vem diretamente da forma diferencial da conservação de massa.
Passo 5
Conclusão sobre a vazão volumétrica
.
- Como
e é constante por hipótese, se é constante então também é constante. Escrevendo:
- Portanto a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção da tubulação e não muda no tempo (dado o regime estacionário).