Um fluido incompressível ( \rho= constante) escoa através de uma tubulação com área da seção transversal constante. Se o escoamento é estacionário, mostre que a velocidade u e a vazão volumétrica q são constantes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O fluido é incompressível, isto é, a massa específica \rho é constante.
  • A tubulação tem área da seção transversal constante; denoto essa área por A.
  • O escoamento é estacionário (steady), ou seja, não depende do tempo.
    A pergunta é: mostrar que a velocidade u e a vazão volumétrica q são constantes (no espaço e no tempo, conforme o contexto dado).

Passo 2

Definições e ideia física que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Vazão volumétrica: por definição a vazão volumétrica q é o volume de fluido que atravessa a seção por unidade de tempo. Para um escoamento unidimensional e área A constante,
q = A\,u,
onde u é a velocidade média do fluido na seção (unidade de comprimento por tempo).
  • Conservação de massa (forma integral, ideia física): escolha um volume de controle formado por um trecho da tubulação entre duas seções perpendiculares aos eixos em x=x_1 e x=x_2. Em regime estacionário, a massa que entra por x_1 por unidade de tempo deve ser igual à massa que sai por x_2 por unidade de tempo (não há acúmulo nem variação temporal dentro do volume de controle).

Passo 3

Aplicando a conservação de massa na forma de balanço de fluxo de massa (forma integral, detalhada).
  • Massa que entra por unidade de tempo na seção x_1: \rho (densidade) vezes o volume por unidade de tempo que atravessa, isto é \rho A u(x_1).
  • Massa que sai por unidade de tempo na seção x_2: \rho A u(x_2).
  • Em regime estacionário, não há variação de massa dentro do trecho, logo as duas taxas devem ser iguais:
\rho A u(x_1)=\rho A u(x_2).
  • Como \rho é constante e A é dada como constante, pode-se cancelar \rho A dos dois lados, obtendo
u(x_1)=u(x_2).
  • Essa igualdade vale para quaisquer x_1 e x_2 dentro da tubulação considerada; portanto u não depende da posição x: isto é,
u(x)=\text{constante (no espaço).}ç

Passo 4

Derivação alternativa (mais matemática) usando a equação de continuidade diferencial em 1D — útil para entender a mesma ideia sob outra forma.
  • A equação de continuidade geral em 1D é
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}=0.
  • Para escoamento estacionário temos \dfrac{\partial}{\partial t}=0, então
\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}=0.
  • Como o fluido é incompressível \rho é constante, pode-se tirar \rho para fora da derivada:
\rho\,\frac{\partial u}{\partial x}=0.
  • \rho é não nula, logo
\frac{\partial u}{\partial x}=0,
o que implica que u é constante em x. Esta conclusão coincide com a obtida no passo anterior, mas vem diretamente da forma diferencial da conservação de massa.

Passo 5

Conclusão sobre a vazão volumétrica q.
  • Como q=A u e A é constante por hipótese, se u é constante então q também é constante. Escrevendo:
q(x)=A\,u(x)=A\cdot\text{constante}=\text{constante}.
  • Portanto a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção da tubulação e não muda no tempo (dado o regime estacionário).

Resposta

u(x)=\text{constante}
q=A\,u=\text{constante}

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