O balanço de energia mecânica fornece uma base para a estimativa da queda de pressão em um escoamento em virtude do atrito. Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo horizontal com a área da seção transversal constante, ele pode ser escrito na forma
onde
é o fator de atrito de Fanning. Churchill
fornece a seguinte expressão para
para o escoamento turbulento:
onde Re é o número de Reynolds (ver Problema 2.21), e
é a rugosidade adimensional da tubulação. O escoamento turbulento é obtido para
.
Considere o escoamento de água líquida a
. Para um dos conjuntos de condições fornecidos a seguir, determine
(em
) e
(em
). Considere
. Para a água líquida a
,
, e
. Verifique se o escoamento é turbulento.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi fornecido.
- Pedido: determinar
(vazão mássica, em ) e (gradiente de pressão, em ) para o caso dado. - Dados fornecidos:
- Diâmetro do tubo:
(peguei do enunciado). - Velocidade média do escoamento:
(peguei do enunciado). - Rugosidade adimensional:
(peguei do enunciado). - Propriedades da água a
: e (peguei do enunciado). - Fórmulas que usaremos (fornecidas no enunciado):
- Diâmetro do tubo:
- Observação sobre verificação do regime: o escoamento é turbulento se
. Vou calcular e comparar.
Passo 2
Cálculo da área da seção e da vazão mássica
. (Pequena explicação: a vazão mássica é a massa que passa por uma seção por unidade de tempo; usamos
, onde
é a área da seção e
a velocidade média.)
- Calcular a área:
Primeiro . Então - Calcular
: Calcule passo a passo: . Multiplicando por : - Resultado (aproximado):
.
Passo 3
Cálculo do número de Reynolds
e verificação de regime (explicação:
compara forças inerciais e viscosas; valores grandes indicam escoamento turbulento).
- Fórmula:
- Substituindo:
Calcule o numerador: . Logo Em notação mais conveniente: - Verificação do regime: como
, o escoamento é turbulent o (confirmado).
Passo 4
Cálculo do fator de atrito de Fanning
usando a expressão de Churchill. (Explicação: a fórmula dá
em termos da rugosidade relativa
e de
. Atenção à computação do termo
.)
- Primeiro calcule os termos internos:
Agora elevar a
:
Para calcular
usa-se
. Assim
- Somando os termos dentro do logaritmo:
- Agora o logaritmo natural:
- Finalmente, aplicar a fórmula de Churchill:
Como o logaritmo é negativo, ao elevar ao quadrado fica positivo: então - Resultado (aproximado):
.
Passo 5
Cálculo do gradiente de pressão
usando a equação de balanço dada. (Explicação: a equação mostra que a variação de pressão ao longo do tubo compensa a perda por atrito; isolamos
.)
- Reescrever a equação para isolar
: O sinal negativo indica que a pressão decresce no sentido do escoamento. - Substituir valores:
Então
- Calcule passo a passo:
. Multiplicando por : Multiplicando por : - Converter para
(dividir por ): Arredondando com consistência com os dados: . - Interpretação rápida: a pressão decresce cerca de
a cada metro no sentido do escoamento.
Passo 6
Resumo final e verificação rápida de consistência (empurrando confiança).
-
confirma escoamento turbulento, então foi apropriado usar a fórmula de Churchill. - O valor de
é um valor típico razoável para escoamentos turbulentos em tubos lisos/ligeramente rugosos nessa faixa de . - Os resultados numéricos estão consistentes com a ordem de grandeza esperada (vazão mássica da ordem de
, queda de pressão da ordem de ).