O balanço de energia mecânica fornece uma base para a estimativa da queda de pressão em um escoamento em virtude do atrito. Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo horizontal com a área da seção transversal constante, ele pode ser escrito na forma
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D} f_{F} \rho u^{2}=0
onde f_{F} é o fator de atrito de Fanning. Churchill { }^{11} fornece a seguinte expressão para f_{F} para o escoamento turbulento:
f_{F}=0,3305\left\{\ln \left[0,27 \frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\operatorname{Re}}\right)^{0,9}\right]\right\}^{-2}
onde Re é o número de Reynolds (ver Problema 2.21), e \epsilon D é a rugosidade adimensional da tubulação. O escoamento turbulento é obtido para \mathrm{Re}>3.000.
Considere o escoamento de água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}. Para um dos conjuntos de condições fornecidos a seguir, determine \dot{m} (em \mathrm{kg} \mathrm{s}^{-1} ) e \Delta P / \Delta L (em \mathrm{kPa} \mathrm{m}^{-1} ). Considere \epsilon / D=0,0001. Para a água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}, \rho=996 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}, e \mu=9,0 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. Verifique se o escoamento é turbulento.
D=5 \mathrm{~cm}, u=5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi fornecido.
  • Pedido: determinar \dot{m} (vazão mássica, em \mathrm{kg\\ s^{-1}}) e \Delta P/\Delta L (gradiente de pressão, em \mathrm{kPa\\ m^{-1}}) para o caso dado.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do tubo: D=0,05\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
    • Velocidade média do escoamento: u=5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} (peguei do enunciado).
    • Rugosidade adimensional: \epsilon/D=0,0001 (peguei do enunciado).
    • Propriedades da água a 25^\circ\mathrm{C}: \rho=996\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}} e \mu=9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\\ m^{-1}\\ s^{-1}} (peguei do enunciado).
    • Fórmulas que usaremos (fornecidas no enunciado): \dot{m}=\rho A u,\qquad A=\frac{\pi D^{2}}{4},
\mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu},
f_{F}=0{,}3305\left\{\ln\!\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\right\}^{-2},
\frac{\Delta P}{\Delta L} + \frac{2}{D} f_{F} \rho u^{2}=0.
  • Observação sobre verificação do regime: o escoamento é turbulento se \mathrm{Re}>3{,}000. Vou calcular \mathrm{Re} e comparar.

Passo 2

Cálculo da área da seção e da vazão mássica \dot{m}. (Pequena explicação: a vazão mássica é a massa que passa por uma seção por unidade de tempo; usamos \dot{m}=\rho A u, onde A é a área da seção e u a velocidade média.)
  • Calcular a área: A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}05)^{2}}{4}.Primeiro D^{2}=(0{,}05)^{2}=0{,}0025. Então A=\pi\cdot\frac{0{,}0025}{4}=\pi\cdot0{,}000625\approx0{,}001963495\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular \dot{m}: \dot{m}=\rho A u=996\cdot0{,}001963495\cdot5.Calcule passo a passo: A\cdot u=0{,}001963495\cdot5=0{,}0098174775. Multiplicando por \rho: \dot{m}\approx996\cdot0{,}0098174775\approx9{,}7782\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Resultado (aproximado): \dot{m}\approx9{,}78\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds \mathrm{Re} e verificação de regime (explicação: \mathrm{Re} compara forças inerciais e viscosas; valores grandes indicam escoamento turbulento).
  • Fórmula: \mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu}.
  • Substituindo: \mathrm{Re}=\frac{996\cdot5\cdot0{,}05}{9{,}0\times10^{-4}}.Calcule o numerador: 996\cdot5\cdot0{,}05=996\cdot0{,}25=249. Logo \mathrm{Re}=\frac{249}{9{,}0\times10^{-4}}=\frac{249}{0{,}0009}\approx276{,}666{,}7.Em notação mais conveniente: \mathrm{Re}\approx2{,}77\times10^{5}.
  • Verificação do regime: como \mathrm{Re}\approx2{,}77\times10^{5}>3{,}000, o escoamento é turbulent o (confirmado).

Passo 4

Cálculo do fator de atrito de Fanning f_{F} usando a expressão de Churchill. (Explicação: a fórmula dá f_F em termos da rugosidade relativa \epsilon/D e de \mathrm{Re}. Atenção à computação do termo (7/\mathrm{Re})^{0{,}9}.)
  • Primeiro calcule os termos internos: 0{,}27\frac{\epsilon}{D}=0{,}27\cdot0{,}0001=0{,}000027.
\frac{7}{\mathrm{Re}}=\frac{7}{2{,}76666\times10^{5}}\approx2{,}529\times10^{-5}.
Agora elevar a 0{,}9:
\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\approx(2{,}529\times10^{-5})^{0{,}9}.
Para calcular x^{0{,}9} usa-se x^{0{,}9}=e^{0{,}9\ln x}. Assim
\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\approx e^{0{,}9\ln(2{,}529\times10^{-5})}\approx7{,}33\times10^{-5}.
  • Somando os termos dentro do logaritmo: 0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\approx0{,}000027+0{,}0000733\approx0{,}0001003.
  • Agora o logaritmo natural: \ln\!\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\approx\ln(1{,}003\times10^{-4})\approx-9{,}2073.
  • Finalmente, aplicar a fórmula de Churchill: f_{F}=0{,}3305\left\{\ln\!\left[\,\cdots\,\right]\right\}^{-2} =0{,}3305\bigl(-9{,}2073\bigr)^{-2}.Como o logaritmo é negativo, ao elevar ao quadrado fica positivo: \bigl(-9{,}2073\bigr)^{2}\approx84{,}769,então f_{F}\approx\frac{0{,}3305}{84{,}769}\approx0{,}0038977.
  • Resultado (aproximado): f_{F}\approx0{,}00390.

Passo 5

Cálculo do gradiente de pressão \Delta P/\Delta L usando a equação de balanço dada. (Explicação: a equação mostra que a variação de pressão ao longo do tubo compensa a perda por atrito; isolamos \Delta P/\Delta L.)
  • Reescrever a equação para isolar \Delta P/\Delta L: \frac{\Delta P}{\Delta L}=-\frac{2}{D}\,f_{F}\,\rho\,u^{2}.O sinal negativo indica que a pressão decresce no sentido do escoamento.
  • Substituir valores: \frac{2}{D}=\frac{2}{0{,}05}=40\\ \mathrm{m^{-1}},
u^{2}=5^{2}=25\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}.
Então
\frac{\Delta P}{\Delta L}=-40\cdot(0{,}0038977)\cdot996\cdot25.
  • Calcule passo a passo: 996\cdot25=24{,}900. Multiplicando por f_{F}: 24{,}900\cdot0{,}0038977\approx97{,}086\\ \mathrm{(Pa\\ m^{-1}\\ cont.)}Multiplicando por 40: \frac{\Delta P}{\Delta L}\approx-40\cdot97{,}086\approx-3{,}883{,}44\\ \mathrm{Pa\\ m^{-1}}.
  • Converter para \mathrm{kPa\\ m^{-1}} (dividir por 1000): \frac{\Delta P}{\Delta L}\approx-3{,}883{,}44\times10^{-3}\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}=-3{,}883\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.Arredondando com consistência com os dados: -3{,}88\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.
  • Interpretação rápida: a pressão decresce cerca de 3{,}88\\ \mathrm{kPa} a cada metro no sentido do escoamento.

Passo 6

Resumo final e verificação rápida de consistência (empurrando confiança).
  • \mathrm{Re}\approx2{,}77\times10^{5} confirma escoamento turbulento, então foi apropriado usar a fórmula de Churchill.
  • O valor de f_{F}\approx0{,}00390 é um valor típico razoável para escoamentos turbulentos em tubos lisos/ligeramente rugosos nessa faixa de \mathrm{Re}.
  • Os resultados numéricos estão consistentes com a ordem de grandeza esperada (vazão mássica da ordem de 10\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}, queda de pressão da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{Pa\\ m^{-1}}).

Resposta

\dot{m}\approx9{,}78\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}
\dfrac{\Delta P}{\Delta L}\approx-3{,}88\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}

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