Um balão cheio de hélio a 20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right], 1 [bar] e um volume de 0,5\left[m^{3}\right] move-se com uma velocidade de 15[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] a uma altitude de 0,5[\mathrm{~km}] em relação ao ambiente de referência para exergia, para o qual T_{0}=20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e p_{0}=1[ bar ]. Utilizando o modelo de gás ideal com k=1,67, determine a exergia específica do hélio, em { }^{k J} / k g.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos:
  • Pedem a exergia específica do hélio em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
  • Dados do balão (estado do hélio):
    • Temperatura: T = 20\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão: p = 1\\ \mathrm{bar}.
    • Volume do balão: V_{\text{balão}} = 0,5\\ \mathrm{m^3}ã.
    • Velocidade do balão: v = 15\\ \mathrm{m/s}.
    • Altitude do balão: z = 0{,}5\\ \mathrm{km} = 500\\ \mathrm{m}.
  • Dados do ambiente de referência para exergia:
    • Temperatura ambiente: T_0 = 20\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão ambiente: p_0 = 1\\ \mathrm{bar}.
  • Modelo pedido: gás ideal com razão de capacidades térmicas \kappa = 1{,}67.
  • Observação: o enunciado dá T e p do hélio iguais a T_0 e p_0. Isso é crucial para simplificar a exergia física.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha e sem pânico):
A exergia específica (não-fluxo) total de uma massa de fluido normalmente pode ser escrita como a soma da exergia física (energia interna/entalpia disponível), da exergia cinética e da exergia potencial. Uma forma conveniente é:
e = (h - h_0) - T_0\,(s - s_0) + \frac{v^2}{2} + g\,z
onde:
  • e é a exergia específica (J/kg),
  • h é a entalpia específica no estado do fluido (J/kg),
  • h_0 é a entalpia específica no estado de referência (T_0,p_0) (J/kg),
  • s é a entropia específica no estado do fluido (J/kg·K),
  • s_0 é a entropia específica no estado de referência (J/kg·K),
  • T_0 é a temperatura ambiente de referência (K),
  • v é a velocidade (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2),
  • z é a elevação (m).
Explicando cada termo:
  • (h-h_0)-T_0(s-s_0) é a exergia física ligada ao estado térmico e de pressão do fluido (o que sobra da energia térmica ao trocar calor com ambiente).
  • \tfrac{v^2}{2} é a exergia cinética por unidade de massa.
  • g z é a exergia potencial por unidade de massa.
Nossa estratégia: avaliar cada termo. Se o gás estiver na mesma temperatura e pressão de referência, os termos térmicos/termodinâmicos desaparecem e sobra só cinética + potencial.

Passo 3

Aplicando o modelo de gás ideal para ver o que acontece com a exergia física.
Para um gás ideal:
h = c_p\,T
e a diferença de entropia entre um estado (T,p) e o estado de referência (T_0,p_0) pode ser escrita como
s - s_0 = c_p\ln\!\left(\frac{T}{T_0}\right) - R\ln\!\left(\frac{p}{p_0}\right),
onde c_p é a capacidade térmica molar massiva (J/kg·K) e R é a constante específica do gás (J/kg·K).
Agora observe: no enunciado T = T_0 e p = p_0. Então:
h - h_0 = c_p\,(T - T_0) = 0
e
s - s_0 = c_p\ln\!(1) - R\ln\!(1) = 0.
Portanto o termo físico:
(h-h_0) - T_0(s-s_0) = 0.
(Aqui poderíamos calcular numericamente c_p usando \kappa e R do hélio só para checar, mas não é necessário: as diferenças envolvem T-T_0 e razões T/T_0, p/p_0 iguais a 1, dando zero.)

Passo 4

Conclusão sobre a exergia: restam apenas os termos cinético e potencial.
Portanto:
e = \frac{v^2}{2} + g\,z.
Vamos calcular cada um.

Passo 5

Cálculo da exergia cinética por unidade de massa.
Fórmula: \displaystyle e_{c}=\frac{v^{2}}{2}.
Com v = 15\\ \mathrm{m/s}:
e_{c}=\frac{15^2}{2}=\frac{225}{2}=112{,}5\\ \mathrm{J/kg}.
Em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}:
e_{c}=0{,}1125\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Cálculo da exergia potencial por unidade de massa.
Fórmula: \displaystyle e_{p}=g\,z.
Com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e z=500\\ \mathrm{m}:
e_{p}=9{,}81\times500=4\,905\\ \mathrm{J/kg}.
Em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}:
e_{p}=4{,}905\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Soma das contribuições e resultado final (não esquece de converter unidades e arredondar legal).
e = e_{c} + e_{p} = 0{,}1125 + 4{,}905 = 5{,}0175\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando com três algarismos significativos:
e \approx 5{,}02\\ \mathrm{kJ/kg}.
(E pode respirar: a maior parte da exergia vem da elevação, a cinética é pequena nesse caso.)

Resposta

5,02\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}

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