Dois quilos de água contida em um conjunto cilindro-pistão, inicialmente a 2[ bar ] e 120\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] , são aquecidos a pressão constante, sem irreversibilidades internas, até um estado final em que a água é um vapor saturado. Para a água como o sistema, determine o trabalho, a transferência de calor e os valores das transferências de exergia associadas ao trabalho e à transferência de calor, ambas em kJ. Adote T_{0}=20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right], p_{0}=1 [bar] e ignore os efeitos de movimento e gravidade.

Passo 1

O enunciado pede que, para a água (sistema fechado) com massa m=2 kg, inicialmente em p_{1}=2 [bar] e T_{1}=120\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right], aquecida reversivelmente (sem irreversibilidades internas) à pressão constante até o estado final em que é vapor saturado, calculemos:
  • o trabalho realizado pelo sistema (ou sobre o sistema, deixar claro o sinal),
  • o calor trocado durante o processo,
  • a transferência de exergia associada ao trabalho,
  • a transferência de exergia associada ao calor.
    Dados do problema (resumidos):
m=2\\ \text{kg},\quad p=2\\ \text{bar},\quad T_{0}=20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]=293{,}15\\ \text{K},\quad p_{0}=1\\ \text{bar}.
Observações importantes já extraídas do enunciado:
  • O processo é isotérmico em pressão? Não: é a pressão que se mantém constante ( p=2 bar) enquanto a temperatura sobe até a temperatura de saturação correspondente a p=2 bar.
  • O estado final é vapor saturado à p=2 bar (ou seja, x=1 à pressão de 2 bar).
  • O aquecimento é reversível (sem irreversibilidades internas), então podemos usar \delta Q_{\mathrm{rev}}=T\,\mathrm{d}s e a expressão exergética para calor reversível.
  • Precisaremos de propriedades termodinâmicas da água saturada à p=2 bar (valores tomados de tabelas de vapor). Vou declarar explicitamente os valores que usei na próxima etapa.

Passo 2

Peguei da tabela de vapor saturado (steam tables) os valores correspondentes à pressão p=2{,}00 bar (saturación a essa pressão). Declaro aqui os valores usados (todos por kg):
\begin{aligned} T_{\mathrm{sat}} &= 120{,}21\\ ^{\circ}\mathrm{C} = 393{,}36\\ \mathrm{K},\\\ v_{f} &= 0{,}001061\\ \mathrm{m^{3}/kg},\\\ v_{g} &= 0{,}8857\\ \mathrm{m^{3}/kg},\\\ u_{f} &\approx 504{,}49\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ u_{g} &\approx 2529{,}30\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ s_{f} &\approx 1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},\\\ s_{g} &\approx 6{,}9056\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},\\\ h_{f} &= u_{f}+p v_{f}\approx 504{,}70\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ h_{g} &= u_{g}+p v_{g}\approx 2706{,}44\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}
Nota: eu usei esses números diretamente das tabelas de vapor saturado para p=2 bar (declaro explicitamente que os números vêm das steam tables). Como T_{1}=120{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C} é muito próximo de T_{\mathrm{sat}}=120{,}21\\ ^{\circ}\mathrm{C}, aproximei o estado inicial como líquido saturado à p=2 bar (compressibilidade do líquido é pequena), isto simplifica e é aceitável em prova.

Passo 3

Calcule os volumes total inicial e final (sistema fechado, massa m=2 kg):
\begin{aligned} v_{1}&\approx v_{f}=0{,}001061\\ \mathrm{m^{3}/kg},\\\ v_{2}&=v_{g}=0{,}8857\\ \mathrm{m^{3}/kg},\\\ V_{1}&=m v_{1}=2\cdot 0{,}001061=0{,}002122\\ \mathrm{m^{3}},\\\ V_{2}&=m v_{2}=2\cdot 0{,}8857=1{,}7714\\ \mathrm{m^{3}}. \end{aligned}

Passo 4

Calcule o trabalho de fronteira (expansão) realizado pelo sistema. Para processo reversível e pressão constante p=2 bar =200 kPa:
A definição de trabalho de fronteira (trabalho de expansão) tomado como trabalho efetuado pelo sistema é
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,\mathrm{d}V = p\,(V_{2}-V_{1})
(uso W positivo quando trabalho é realizado pelo sistema). Então:
\begin{aligned} \Delta V &= V_{2}-V_{1}=1{,}7714-0{,}002122=1{,}769278\\ \mathrm{m^{3}},\\[4pt] W &= p\,\Delta V =200\\ \mathrm{kPa}\cdot 1{,}769278\\ \mathrm{m^{3}} =353{,}8556\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}
Arredondando razoavelmente:
W \approx 353{,}86\\ \mathrm{kJ}\quad\text{(trabalho realizado pelo sistema).}]

Passo 5

Use a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado (sem energia cinética/ potencial):
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor fornecido para o sistema e W o trabalho realizado pelo sistema. Reescrevendo para Q:
Q = \Delta U + W.
Calcule \Delta U = m(u_{2}-u_{1}):
\begin{aligned} u_{1}&\approx 504{,}49\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ u_{2}&\approx 2529{,}30\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ \Delta u &= u_{2}-u_{1}=2024{,}81\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ \Delta U &= m\Delta u =2\cdot 2024{,}81=4049{,}62\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}
Portanto
Q = \Delta U + W =4049{,}62 +353{,}86 =4403{,}48\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: foi fornecido ao sistema Q\approx 4403{,}48 kJ de calor para evaporar 2 kg de água à p=2 bar.

Passo 6

Agora a exergia associada ao trabalho. Regra prática e física: todo trabalho mecânico útil (shaft, movimento do pistão, etc.) é uma forma de energia totalmente conversível e, portanto, é transportador de exergia com mesma magnitude. Assim, a exergia associada ao trabalho (transferência de exergia por trabalho) é igual ao módulo do trabalho:
\Psi_{\text{work}} = W \approx 353{,}86\\ \mathrm{kJ}.
Eu explico por que: exergia mede a parte da energia que pode ser convertida em trabalho útil; trabalho é já trabalho útil, então sua exergia é igual ao seu valor energético (não há fator termodinâmico reduzindo-o).

Passo 7

Exergia associada ao calor trocado. Regra geral:
\delta \Psi_{Q} = \left(1-\frac{T_{0}}{T_{b}}\right)\delta Q,
onde T_{b} é a temperatura do reservatório (fonte de calor) no ponto de troca. No processo reversível e com aquecimento ao longo da saturação, a troca de calor ocorre essencialmente à temperatura da superfície do sistema que varia; porém neste processo o calor que entra faz evaporar o fluido à temperatura de saturação T_{\mathrm{sat}} correspondente a p=2 bar. Assim podemos considerar que o calor foi trocado reversivelmente com uma fonte cuja temperatura efetiva é T_{\mathrm{sat}}=393{,}36 K (a temperatura de evaporação). Para um processo reversível com fonte à temperatura constante T_{\mathrm{sat}} a exergia transportada pelo calor total Q é
\Psi_{Q} = \left(1-\frac{T_{0}}{T_{\mathrm{sat}}}\right)Q.
Cálculo numérico:
\begin{aligned} 1-\frac{T_{0}}{T_{\mathrm{sat}}} &= 1-\frac{293{,}15}{393{,}36}=1-0{,}7451\approx 0{,}2549,\\[4pt] \Psi_{Q} &= 0{,}2549\cdot 4403{,}48\\ \mathrm{kJ}\approx 1122{,}17\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}
Observação alternativa (mais formal): para processo reversível e p= const, usando \delta Q_{\mathrm{rev}}=T\,\mathrm{d}s e a identidade termodinâmica T\,\mathrm{d}s=\mathrm{d}(u+p v) quando \mathrm{d}p=0, obtemos
\Psi_{Q}=m\Big[(u_{2}+p v_{2})-(u_{1}+p v_{1})-T_{0}(s_{2}-s_{1})\Big],
o que numérico dá o mesmo \Psi_{Q}\approx 1122{,}17 kJ (confere com a fórmula direta acima, pois u+p v=h e Q=m(h_{2}-h_{1})).]

Passo 8

Resumo físico e checagem rápida:
  • Trabalho positivo (feito pelo sistema): W\approx 353{,}86\\ \mathrm{kJ}.
  • Calor fornecido ao sistema: Q\approx 4403{,}48\\ \mathrm{kJ}.
  • Exergia transportada por trabalho: \Psi_{\text{work}}=W\approx 353{,}86\\ \mathrm{kJ}.
  • Exergia transportada por calor (reservatório à T_{\mathrm{sat}}): \Psi_{Q}\approx 1122{,}17\\ \mathrm{kJ}.
Eu sei que dá aquele frio na barriga ver números grandes, mas pensa assim: a maior parte do calor fornecido é “energia térmica que não está num formato totalmente convertível” (por isso a exergia do calor é menor que o próprio calor). O trabalho já chega como coisa “pronta” para uso (exergia).

Resposta

Trabalho W = 353{,}86\\ \mathrm{kJ}
Calor Q = 4403{,}48\\ \mathrm{kJ}
Exergia associada ao trabalho \Psi_{\text{work}} = 353{,}86\\ \mathrm{kJ}
Exergia associada ao calor \Psi_{Q} = 1122{,}17\\ \mathrm{kJ}

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