Um balão elástico esférico contém hidrogênio a 150 kPa . Nesta situação o diâmetro do balão é de 0,3 m. O gás é então aquecido e a pressão aumenta para 200 kPa e o diâmetro para 0,4 m. Durante o processo a pressão é proporcional ao diâmetro do balão. Calcular:
a) o trabalho realizado pelo gás durante o processo;
b) o trabalho realizado pelo balão contra a atmosfera.
Assumir o valor de 100 kPa para a pressão atmosférica.

Passo 1

O exercício diz:
  • Temos um balão esférico com hidrogênio, inicialmente com pressão interna e diâmetro .
  • Depois o gás é aquecido e chega em e .
  • Durante todo o processo é proporcional a .
    Precisamos calcular:
    a) o trabalho realizado pelo gás ;
    b) o trabalho que o balão faz contra a atmosfera, ou seja , com .
    Conteúdo: termodinâmica básica, trabalho em processo variável, integração e volume de esfera (ou em função de diâmetro).

Passo 2

Vamos achar a relação P(D)=k,D e os volumes:
  1. Como k=P1D1=1500,3=500 kPa/m , escrevemos
V(D)=pi6D^3
e achamos V1=V(0,3)=pi6(0,3)^3=0,0045piapprox0,01414 m^3, usando o ponto inicial:
V2=V(0,4)=pi6(0,4)^3=0,010667piapprox0,03351 m^3
  1. O volume de uma esfera em função do diâmetro é
Então

Passo 3

Agora o trabalho do gás:
W=integralV1^V2P,dV
Troca a variável pra dV=ddDl(tfracpi6D^3r),dD =pi2D^2,dD :
W=integralD1^D2 l(kDr),l(tfracpi2D^2,dDr) =kpi2integralD1^D2D^3,dD =kpi2,D^44|D1^D2 =kpi8l(D2^4-D1^4r)
Então

Passo 4

Basta pôr números:
kpi8= 500pi8=62,5pi, D2^4-D1^4=0,4^4-0,3^4=0,0256-0,0081=0,0175
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W=62,5pitimes0,0175approx1,09375piapprox3,44 kJ

Passo 5

Trabalho contra a atmosfera ( Wrm atm=Prm atm,(V2-V1) =100 kPatimes(0,03351-0,01414) m^3 =100times0,01937approx1,94 kJ ):

Resposta

a)
b)

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