Um balão, inicialmente vazio, é inflado com ar de um tanque de ar comprimido. O volume final do balão é 2,5 \mathrm{~m}^{3}. O barômetro registra 740 mm Hg . Considere o tanque, o balão e a canalização entre ambos como o sistema e determine o trabalho realizado no processo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei a pressão do barômetro informado):
  • Volume final do balão: \,V_{\rm f}=2{,}5\\ \mathrm{m^{3}}\,.
  • O barômetro registra \,740\\ \mathrm{mm\\ Hg}\, (pressão atmosférica externa).
  • O sistema considerado é: tanque + balão + canalização entre ambos (ou seja, toda a massa de ar que vai do tanque para o balão permanece dentro do sistema).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o trabalho realizado no processo.

Passo 2

Entendendo qual trabalho devemos calcular (ideia física, sem resolver ainda).
  • O sistema declarado tem fronteira externa que está em contato com a atmosfera. Quando o balão infla, ele desloca a atmosfera: é esse deslocamento que realiza trabalho mecânico sobre o entorno.
  • O trabalho de fronteira (ou trabalho de pressão–volume) quando a fronteira do sistema varia de volume é dado por
W=\int_{V_{\rm i}}^{V_{\rm f}} P_{\rm ext}\,dV,
onde \,P_{\rm ext}\, é a pressão externa que age sobre a fronteira que se move e \,V_{\rm i},V_{\rm f}\, são volumes inicial e final do sistema.
  • Aqui o balão estava inicialmente vazio (volume do balão aproximado \,V_{\rm i}=0\\ \mathrm{m^{3}}\,), e terminou com \,V_{\rm f}=2{,}5\\ \mathrm{m^{3}}\,. A pressão externa que o balão precisa vencer é a pressão atmosférica indicada pelo barômetro. Supondo que esse empurramento ocorre contra uma pressão aproximadamente constante igual à pressão atmosférica (boa aproximação para inflação lenta), o integral simplifica para
W = P_{\rm atm}\,(V_{\rm f}-V_{\rm i}) = P_{\rm atm}\,\Delta V.
  • Observação sobre sinal: nesta convenção W é o trabalho realizado pelo sistema sobre os arredores (ou seja, energia que sai do sistema). Se for necessário o trabalho feito sobre o sistema pelo ambiente, seria -W.

Passo 3

Converter a leitura do barômetro ( 740\\ \mathrm{mm\\ Hg}) para pascal, unidades do SI, para usar na conta.
  • A pressão de uma coluna de mercúrio de altura h é \,P=\rho_{\rm Hg}\,g\,h\,. Para h em metros, \rho_{\rm Hg}\approx13595\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}} e g\approx9{,}80665\\ \mathrm{m\\ s^{-2}}.
  • Como 740\\ \mathrm{mm\\ Hg}=0{,}740\\ \mathrm{m\\ Hg}, calcula-se:
P_{\rm atm}=\rho_{\rm Hg}\,g\,h = 13595\cdot 9{,}80665\cdot 0{,}740\\ \mathrm{Pa}.
  • Fazendo a conta (mostrando passo a passo):
13595\cdot 9{,}80665 \approx 133322\quad\text{(unidade: Pa/m)},
P_{\rm atm}=133322\cdot 0{,}740 \approx 98657{,}08\\ \mathrm{Pa}.
  • (Essa é a forma de obter o valor; em física prática também se usa a aproximação 1\\ \mathrm{mmHg}\approx133{,}322\\ \mathrm{Pa}, então 740\cdot133{,}322\approx98657{,}08\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 4

Calcular o trabalho usando W = P_{\rm atm}\,\Delta V.
  • O volume inicial do balão foi V_{\rm i}=0\\ \mathrm{m^{3}} (balão vazio) e o final V_{\rm f}=2{,}5\\ \mathrm{m^{3}}. Então \,\Delta V=2{,}5\\ \mathrm{m^{3}}\,.
  • Substituindo:
W = 98657{,}08\\ \mathrm{Pa}\times 2{,}5\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Multiplicando:
W \approx 246642{,}7\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento final (e comentário sobre sinal).
  • O valor calculado é o trabalho realizado pelo sistema (tanque+balão+canalização) sobre a vizinhança, isto é, energia fornecida para deslocar a atmosfera. Em notação conveniente e com três algarismos significativos:
W \approx 2{,}47\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
  • Se alguém quiser o trabalho feito sobre o sistema pelo ambiente, seria -2{,}47\times10^{5}\\ \mathrm{J}.

Resposta

W=2{,}47\times10^{5}\\ \mathrm{J}

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