Um cilindro com êmbolo contém vapor d’água saturado a 200^{\circ} \mathrm{C}. O volume inicial do vapor é 10 \mathrm{dm}^{3 \prime}. O vapor expande-se num processo isotérmieo quase-estático até que a pressão final seja de 1,3 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e, ao fazé-lo, realiza trabalho contra o êmbolo.
a) Determinar o trabalho realizado no processo
b) Qual o erro cometido ao se assumir que o vapór se comporta como uth gás perfeito?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura constante do processo: 200^\circ\mathrm{C}. Ou seja, T=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Volume inicial do vapor: V_1=10\\ \mathrm{dm}^3=0{,}01\\ \mathrm{m}^3.
    • O vapor é saturado a 200^\circ\mathrm{C}. (Da tabela de vapor saturado: pressão de saturação e volume específico do vapor a 200^\circ\mathrm{C} serão usados.)
    • Pressão final do processo: P_2=1{,}3\\ \mathrm{kgf/cm^2}. Convertendo para SI: 1\\ \mathrm{kgf/cm^2}=9{,}80665\times10^4\\ \mathrm{Pa}, logo P_2=1{,}3\cdot9{,}80665\times10^4=127{,}486{,}45\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}2749\times10^5\\ \mathrm{Pa}.
  • Peguei da tabela de vapor saturado (valores padrão):
    • Pressão de saturação a 200^\circ\mathrm{C}: P_{\mathrm{sat}}(200^\circ\mathrm{C})=1{,}554{,}9\\ \mathrm{kPa}=1{,}554{,}900\\ \mathrm{Pa}.
    • Volume específico do vapor saturado a 200^\circ\mathrm{C}: v_{g}(200^\circ\mathrm{C})=0{,}12736\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Constante específica do vapor d’água:
    R_{\mathrm{v}}=\frac{R_{\mathrm{univ}}}{M_{\mathrm{H_2O}}}\approx461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
  • O que é pedido:
    (a) Determinar o trabalho realizado pelo vapor durante a expansão isotérmica quase‑estática.
    (b) Estimar o erro cometido se assumirmos que o vapor se comporta como gás perfeito.

Passo 2

Calcular a massa de vapor inicial (fechando o sistema): uso a definição de volume específico v=V/m, logo m=V/v. Como o enunciado diz que o vapor é saturado a 200^\circ\mathrm{C}, peguei v_1=v_g(200^\circ\mathrm{C}) da tabela.
  • v_1=0{,}12736\\ \mathrm{m^3/kg} (peguei da tabela de vapor saturado).
  • V_1=0{,}01\\ \mathrm{m^3}.
Calcule:
m=\frac{V_1}{v_1}=\frac{0{,}01}{0{,}12736}\approx0{,}07852\\ \mathrm{kg}.
Explicação didática curta: o volume específico v é o volume por unidade de massa. Se se conhece o volume total e o volume por quilograma, a massa é simplesmente razão do volume total pelo volume por quilograma.

Passo 3

Fórmula do trabalho para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal (derivação curta e útil na prova):
  • Para processo isotérmico e reversível: W=\displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
  • Para gás ideal P=\dfrac{m R_{\mathrm{v}} T}{V}. Substituindo e integrando: W_{\text{ideal}}=m R_{\mathrm{v}} T\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}=m R_{\mathrm{v}} T\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Como V=m v, também se escreve W_{\text{ideal}}=m R_{\mathrm{v}} T\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Aqui: m é massa (kg), R_{\mathrm{v}} é a constante específica (J/kg·K), T é temperatura absoluta (K), v_1 e v_2 são volumes específicos iniciais e finais (m^3/kg). Esta é a fórmula que se usa na prova quando o gás é ideal.

Passo 4

Precisamos do volume específico final v_2 à temperatura constante T=473{,}15\\ \mathrm{K} e pressão P_2=1{,}2749\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • O procedimento correto seria consultar a tabela de vapor superaquecido à 200^\circ\mathrm{C} e P_2 e obter v_2 (pegaria esse v_2 da tabela se disponível).
  • Se a tabela de superaquecido não estiver à mão, pode-se aproximar v_2 pelo gás ideal: v_2\approx\frac{R_{\mathrm{v}} T}{P_2}.
Neste problema a pressão final é relativamente baixa (≈0,1275 MPa) e o vapor está superaquecido nessa condição, de modo que a aproximação do gás ideal para v_2 é boa. Vou usá‑la (e depois farei correção aproximada para efeito de avaliar o erro).
Calcule v_2 (aprox. ideal):
v_2\approx\frac{461{,}5\cdot473{,}15}{127{,}486{,}45}\\ \mathrm{m^3/kg}\approx1{,}7130\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 5

Calcular o trabalho assumindo gás perfeito (usando a fórmula do Passo 3).
Primeiro calcule m R_{\mathrm{v}} T:
m R_{\mathrm{v}} T=0{,}07852\cdot461{,}5\cdot473{,}15\\ \mathrm{J}\approx17\,134\\ \mathrm{J}.
Agora o logaritmo
\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right)=\ln\!\left(\frac{1{,}7130}{0{,}12736}\right)=\ln(13{,}446)\approx2{,}5970.
Portanto
W_{\text{ideal}}=17\,134\cdot2{,}5970\\ \mathrm{J}\approx44\,510\\ \mathrm{J}\approx44{,}5\\ \mathrm{kJ}.
Observação didática: na prova, se for pedido usar o modelo de gás perfeito, este é o cálculo direto. Note que aqui usei a massa calculada a partir do vapor saturado inicial — isto equivale a assumir que, embora o estado inicial seja saturado, o número de mols/massa do sistema é conhecido e depois o gás comporta‑se idealmente durante a expansão.

Passo 6

Estimativa do trabalho “real” (levando em conta comportamento real do vapor) e comparação com o ideal.
  • Introdução ao fator de compressibilidade z: para gases reais escreve‑se P v = z\,R_{\mathrm{v}}T,onde z é função do estado (pressão e temperatura). Para gás ideal z=1. Para vapor real, especialmente próximo da condensação, z pode diferir de 1. Podemos calcular z em cada estado como z=\frac{P v}{R_{\mathrm{v}}T}.
Calcule z no estado inicial (saturado): usei P_1=P_{\mathrm{sat}}(200^\circ\mathrm{C})=1{,}554{,}900\\ \mathrm{Pa} e v_1=0{,}12736\\ \mathrm{m^3/kg}.
z_1=\frac{P_1 v_1}{R_{\mathrm{v}}T}=\frac{1{,}554{,}900\cdot0{,}12736}{461{,}5\cdot473{,}15}\approx0{,}907.
No estado final, usando o v_2 aproximado (gás ideal) e P_2,
z_2=\frac{P_2 v_2}{R_{\mathrm{v}}T}\approx\frac{127{,}486{,}45\cdot1{,}7130}{461{,}5\cdot473{,}15}\approx1{,}00.
Interpretação: z varia de aproximadamente 0{,}907 (próximo da saturção, comportamento não‑ideal) para cerca de 1 (comportamento ideal) no final. Para estimar o trabalho real podemos escrever, para processo isotérmico e reversível:
W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV=m\int_{v_1}^{v_2}P\,dv = m R_{\mathrm{v}}T\int_{v_1}^{v_2}\frac{z(v)}{v}\,dv.
Se z(v) não varia bruscamente, uma aproximação prática (usada em provas quando não há tabela detalhada) é usar um valor médio z_{\mathrm{m}} e obter
W_{\text{real}}\approx m R_{\mathrm{v}}T\,z_{\mathrm{m}}\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Tomando z_{\mathrm{m}} como a média aritmética \dfrac{z_1+z_2}{2}\approx\dfrac{0{,}907+1{,}00}{2}=0{,}9535, obtemos:
W_{\text{real}}\approx17\,134\cdot0{,}9535\cdot2{,}5970\\ \mathrm{J}\approx42\,430\\ \mathrm{J}\approx42{,}4\\ \mathrm{kJ}.
Explicação intuitiva: perto do início o vapor é mais “compressível” ( z<1 ), então para a mesma variação de volume a pressão real é menor que a prevista pelo gás perfeito, o que reduz o trabalho realizado comparado ao caso ideal.

Passo 7

Calcular o erro ao assumir gás perfeito: comparo W_{\text{ideal}} com W_{\text{real}} (estimado).
  • Diferença absoluta: \Delta W=W_{\text{ideal}}-W_{\text{real}}\approx44{,}51\\ \mathrm{kJ}-42{,}43\\ \mathrm{kJ}=2{,}08\\ \mathrm{kJ}.
  • Erro relativo (percentual), tomado em relação ao valor “real” estimado: \text{erro}=\frac{\Delta W}{W_{\text{real}}}\times100\%\approx\frac{2{,}08}{42{,}43}\times100\%\approx4{,}9\%.
Interpretação final: assumir comportamento de gás perfeito aqui leva a uma superestimação do trabalho de aproximadamente 4{,}9\% (erro da ordem de poucos por cento). Em termos absolutos o erro é cerca de 2{,}1\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

(a) W_{\text{real}}\approx42{,}4\\ \mathrm{kJ}
(b) Erro ao assumir gás perfeito: aproximadamente 4{,}9\% (superestimação de cerca de 2{,}08\\ \mathrm{kJ}).

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