Um cilindro com êmbolo contém vapor d’água saturado a
. O volume inicial do vapor é
. O vapor expande-se num processo isotérmieo quase-estático até que a pressão final seja de
e, ao fazé-lo, realiza trabalho contra o êmbolo.
a) Determinar o trabalho realizado no processo
b) Qual o erro cometido ao se assumir que o vapór se comporta como uth gás perfeito?
a) Determinar o trabalho realizado no processo
b) Qual o erro cometido ao se assumir que o vapór se comporta como uth gás perfeito?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Temperatura constante do processo:
. Ou seja, . - Volume inicial do vapor:
. - O vapor é saturado a
. (Da tabela de vapor saturado: pressão de saturação e volume específico do vapor a serão usados.) - Pressão final do processo:
. Convertendo para SI: , logo
- Temperatura constante do processo:
-
Peguei da tabela de vapor saturado (valores padrão):
- Pressão de saturação a
: - Volume específico do vapor saturado a
:
- Pressão de saturação a
-
Constante específica do vapor d’água:
-
O que é pedido:
(a) Determinar o trabalho realizado pelo vapor durante a expansão isotérmica quase‑estática.
(b) Estimar o erro cometido se assumirmos que o vapor se comporta como gás perfeito.
Passo 2
Calcular a massa de vapor inicial (fechando o sistema): uso a definição de volume específico
, logo
. Como o enunciado diz que o vapor é saturado a
, peguei
da tabela.
-
(peguei da tabela de vapor saturado). -
.
Calcule:
Explicação didática curta: o volume específico
é o volume por unidade de massa. Se se conhece o volume total e o volume por quilograma, a massa é simplesmente razão do volume total pelo volume por quilograma.
Passo 3
Fórmula do trabalho para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal (derivação curta e útil na prova):
- Para processo isotérmico e reversível:
. - Para gás ideal
. Substituindo e integrando: - Como
, também se escreve
Aqui:
é massa (kg),
é a constante específica (J/kg·K),
é temperatura absoluta (K),
e
são volumes específicos iniciais e finais (m^3/kg). Esta é a fórmula que se usa na prova quando o gás é ideal.
Passo 4
Precisamos do volume específico final
à temperatura constante
e pressão
.
- O procedimento correto seria consultar a tabela de vapor superaquecido à
e e obter (pegaria esse da tabela se disponível). - Se a tabela de superaquecido não estiver à mão, pode-se aproximar
pelo gás ideal:
Neste problema a pressão final é relativamente baixa (≈0,1275 MPa) e o vapor está superaquecido nessa condição, de modo que a aproximação do gás ideal para
é boa. Vou usá‑la (e depois farei correção aproximada para efeito de avaliar o erro).
Calcule
(aprox. ideal):
Passo 5
Calcular o trabalho assumindo gás perfeito (usando a fórmula do Passo 3).
Primeiro calcule
:
Agora o logaritmo
Portanto
Observação didática: na prova, se for pedido usar o modelo de gás perfeito, este é o cálculo direto. Note que aqui usei a massa calculada a partir do vapor saturado inicial — isto equivale a assumir que, embora o estado inicial seja saturado, o número de mols/massa do sistema é conhecido e depois o gás comporta‑se idealmente durante a expansão.
Passo 6
Estimativa do trabalho “real” (levando em conta comportamento real do vapor) e comparação com o ideal.
- Introdução ao fator de compressibilidade
: para gases reais escreve‑se onde é função do estado (pressão e temperatura). Para gás ideal . Para vapor real, especialmente próximo da condensação, pode diferir de 1. Podemos calcular em cada estado como
Calcule
no estado inicial (saturado): usei
e
.
No estado final, usando o
aproximado (gás ideal) e
,
Interpretação:
varia de aproximadamente
(próximo da saturção, comportamento não‑ideal) para cerca de
(comportamento ideal) no final. Para estimar o trabalho real podemos escrever, para processo isotérmico e reversível:
Se
não varia bruscamente, uma aproximação prática (usada em provas quando não há tabela detalhada) é usar um valor médio
e obter
Tomando
como a média aritmética
, obtemos:
Explicação intuitiva: perto do início o vapor é mais “compressível” (
), então para a mesma variação de volume a pressão real é menor que a prevista pelo gás perfeito, o que reduz o trabalho realizado comparado ao caso ideal.
Passo 7
Calcular o erro ao assumir gás perfeito: comparo
com
(estimado).
- Diferença absoluta:
- Erro relativo (percentual), tomado em relação ao valor “real” estimado:
Interpretação final: assumir comportamento de gás perfeito aqui leva a uma superestimação do trabalho de aproximadamente
(erro da ordem de poucos por cento). Em termos absolutos o erro é cerca de
.
Resposta
(a)
(b) Erro ao assumir gás perfeito: aproximadamente (superestimação de cerca de
).
(b) Erro ao assumir gás perfeito: aproximadamente