Barramentos condutores usados emuma subestação de distribuição de uma central geradora de energia elétrica possuem uma seção transversal retangular com altura H=600 mm e com largura W=200 mm. A condutividade térmica do material do barramento é k=165 W / m cdot K e a resistência elétrica por unidade de comprimento € Re^prime=1,044 mu Omega / m. O coeficiente de transmissão de calor por convecção entre a barra e o ar ambiente a 30^circ C e 19 W / m^2.
(a) Admitindo a temperatura do barramento T uniforme, calcule a temperatura em regime permanente quando uma corrente de 60.000 A circular através da barra.
(b) Admitindo que o barramento possa ser aproximado por uma parede plana unidimensional de espessura 2 L=W com geração uniforme de energia, estime a diferença de temperatura entre o plano médio e a superfície do barramento de distribuição. A hipótese de temperatura uniforme admitida no item (a) é razoável? Comente a validade da hipótese de parede plana para a estimativa da điferença de temperatura.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos um barramento retangular de seção H=600 mm por W=200 mm, condutividade térmica k=165; W/( mcdot K), resistência elétrica por metro R'e=1,044;muOmega/ m, e convecção para o ar a 30^circ C com coeficiente h=19; W/( m^2! cdot K).
Conteúdo envolvido:
  • Balanço de potência elétrica x perda por convecção (parte a),
  • Geração interna de calor em parede plana e diferença de temperatura (parte b).
    Vamos usar: Prm >=r = I^2,R'e por metro, área de convecção A = perímetrotimes1,ím, e depois a fórmula da diferença de temperatura em parede com geração uniforme.

Passo 2

Parte (a): Temperatura uniforme
  1. Calcular a potência por metro gerada:
$$P_{\rm ger} = I^2,R’_e = (60000;\mathrm A)^2 \times 1{,}044\times10^{-6};\Omega/\mathrm m
=3{,}758{,}4;\mathrm kW/m. Prm >=r = I^2,R'e = (60000; A)^2 times 1,044times10^-6;Omega/ m =3,758,4; kW/mÁçãíA=h\cdot1{,}6 =19;\frac{\mathrm W}{\mathrm m^2K}\times1,6;\mathrm m^2 =30{,}4;\frac{\mathrm W}{\mathrm m\cdot K}.$$
  1. No regime permanente, gerações = convecção:
=2(H+W)=2(0,6+0,2)=1,6;
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A=hcdot1,6 =19; W m^2Ktimes1,6; m^2 =30,4; W mcdot K

Passo 3

Parte (b): Diferença de T no muro plano
  1. Primeiro, achamos a geração volumétrica q''' (W/m³):
    área da seção transversal Ac=Hcdot W=0,6times0,2=0,12; m^2,
    então
q''' = Prm >=r/ mAc=3758,40,12approx31320; W/m^3
2) Modelando como parede de meia‐espessura L=W/2=0,1,m, a diferença de temperatura entre o meio e a face (só condução) é
$$\Delta T_{\rm cond} = \frac{q’’’,L^2}{2,k}
= \frac{31320\times(0,1)^2}{2\times165}
\approx0,95;K.$$
3) Comentários:
- A hipótese de temperatura uniforme (item a) ignora essa variação interna de apenas ~1 K, bem pequena diante dos ~124 K de elevação total, então é razoável.
- A suposição de parede plana é uma simplificação (a seção é retangular), mas dá uma estimativa rápida do gradiente interno e mostra que ele é desprezível.

Resposta

Temperatura do barramento em regime: Tapprox154^circ!C.
Diferença de temperatura entre o plano médio e a superfície: De.
Hipótese de T uniforme é bem razoável; a modelagem como parede plana dá uma boa estimativa do gradiente interno.

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