A passagem de uma corrente elétrica
(A) através de uma barra de distribuição retangular de cobre de seção transversal
) provoca uma geração de energia a uma taxa
onde
. Se a barra encontra-se no ar ambiente com
e a sua temperatura máxima não pode exceder
acima da temperatura do ar, qual é a capacidade de corrente admissível para a barra de distribuição?
Passo 1
Beleza, o exercício diz que uma barra de cobre retangular (seção 6 mm × 150 mm) leva uma corrente elétrica I, gerando calor internamente à taxa volumétrica
\dot q = a,I^2, com a = 0,015 W/m³. Essa barra esfria por convecção no ar (h = 5 W/m²K) e não pode ficar mais que ΔTₘₐₓ = 30 K acima do ar.
Conteúdo: transferência de calor (equilíbrio geração interna vs. convecção).
O que vamos usar:
• Cálculo de área de seção transversal e perímetro da barra
• Balanço de energia em regime permanente (geração = dissipação)
• Fórmula da convecção Q̇ = h·A·ΔT
\dot q = a,I^2, com a = 0,015 W/m³. Essa barra esfria por convecção no ar (h = 5 W/m²K) e não pode ficar mais que ΔTₘₐₓ = 30 K acima do ar.
Conteúdo: transferência de calor (equilíbrio geração interna vs. convecção).
O que vamos usar:
• Cálculo de área de seção transversal e perímetro da barra
• Balanço de energia em regime permanente (geração = dissipação)
• Fórmula da convecção Q̇ = h·A·ΔT
Passo 2
Vamos achar:
• Área de seção transversal A_c = 6 mm × 150 mm = 0,006 m × 0,15 m = 9×10⁻⁴ m²
• Perímetro da seção P = 2·(0,006 + 0,15) m = 0,312 m
• Área de seção transversal A_c = 6 mm × 150 mm = 0,006 m × 0,15 m = 9×10⁻⁴ m²
• Perímetro da seção P = 2·(0,006 + 0,15) m = 0,312 m
Passo 3
Teoria aplicada:
- Geração de calor por Joule, por unidade de volume: \dot q = a·I² (W/m³).
- Em regime permanente, a potência gerada por comprimento da barra (por metro de comprimento) é
Q̇_gen’ = \dot q · A_c = a·I² · A_c. - Essa potência deve ser igual à potência dissipada por convecção, que por metro de comprimento é
Q̇_conv’ = h · P · ΔT. - Logo, equilíbrio:
a·I² · A_c = h · P · ΔT
Passo 4
Isolando I na equação
a·I² · A_c = h·P·ΔT
temos
I² = (h·P·ΔT) / (a·A_c)
I = √[ (h·P·ΔT) / (a·A_c) ]
a·I² · A_c = h·P·ΔT
temos
I² = (h·P·ΔT) / (a·A_c)
I = √[ (h·P·ΔT) / (a·A_c) ]
Passo 5
Agora, plugando números:
h = 5 W/m²K
P = 0,312 m
ΔT = 30 K
a = 0,015 W/m³
A_c = 9×10⁻⁴ m²
h = 5 W/m²K
P = 0,312 m
ΔT = 30 K
a = 0,015 W/m³
A_c = 9×10⁻⁴ m²
I = √[ (5 · 0.312 · 30) / (0.015 · 9×10⁻⁴) ]
= √[ 46.8 / (1.35×10⁻⁵) ]
= √[ 3.4667×10⁶ ]
≈ 1.86×10³ A
= √[ 46.8 / (1.35×10⁻⁵) ]
= √[ 3.4667×10⁶ ]
≈ 1.86×10³ A
Resposta
A corrente admissível é aproximadamente 1,86 kA.