Com base nos dados das tabelas de vapor, determine uma boa estimativa para f / f^{a t} da água líquida a 150^{\circ} \mathrm{C} e 150 bar, sendo f^{a t} a fugacidade do líquido saturado a 150^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede uma boa estimativa para \dfrac{f}{f^{at}} da água líquida à temperatura 150^\circ\mathrm{C} e 150\\ \mathrm{bar}, onde f^{at} é a fugacidade do líquido saturado à mesma temperatura 150^\circ\mathrm{C}. Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Temperatura: T=150^\circ\mathrm{C}=423{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de interesse: P=150\\ \mathrm{bar}=1{,}50\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
  • Referência: fugacidade do líquido saturado à 150^\circ\mathrm{C}, ou seja a pressão de saturação P^{sat} e o volume específico de líquido saturado v_f a 150^\circ\mathrm{C} devem ser obtidos nas tabelas de vapor saturado. Vou usar esses valores da tabela.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma substância pura, a energia química (potencial químico) \mu satisfaz, a temperatura constante,
d\mu = v\,dP,
onde v é o volume específico (m³/kg) e P é a pressão.
  • Fugacidade f está relacionada com \mu por
\mu = \mu^\circ + RT\ln f,
onde R é a constante específica do vapor d’água ( R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}K^{-1}}=461{,}5\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}K^{-1}}) e T é a temperatura em K.
  • Diferenciando essa relação a T constante dá
RT\,d\ln f = d\mu = v\,dP,
ou seja
d\ln f = \frac{v}{RT}\,dP.
  • Integrando entre a pressão de saturação P^{sat} (onde a fugacidade é f^{at}) e a pressão P obtém-se
\ln\!\left(\frac{f}{f^{at}}\right)=\int_{P^{sat}}^{P}\frac{v(T,P)}{RT}\,dP.
Essa é a relação exata. Na prática, para líquidos comprimidos costuma-se aproximar v(T,P) por v_f(T) (volume específico do líquido saturado a essa T), porque o líquido é pouco compressível. Assim a integral fica simplesmente
\ln\!\left(\frac{f}{f^{at}}\right)\approx\frac{v_f(T)}{RT}\left(P-P^{sat}\right).
Essa fórmula é a que usarei (aproximação de líquido incompressível). Vou explicar e calcular passo a passo.

Passo 3

Peguei na tabela de vapor saturado a 150^\circ\mathrm{C} os seguintes dados (informo explicitamente que estes valores foram retirados da tabela de vapor saturado):
  • Volume específico do líquido saturado: v_f(150^\circ\mathrm{C})=0{,}001091\\ \mathrm{m^3\\ kg^{-1}}.
  • Pressão de saturação: P^{sat}(150^\circ\mathrm{C})=4{,}758\\ \mathrm{bar}=4{,}758\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Colocando tudo na fórmula e cuidando das unidades:
  • R=461{,}5\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}K^{-1}}.
  • T=423{,}15\\ \mathrm{K}.
  • P=150\\ \mathrm{bar}=1{,}50\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
  • P^{sat}=4{,}758\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • v_f=0{,}001091\\ \mathrm{m^3\\ kg^{-1}}.
A diferença de pressão é
P-P^{sat}=1{,}50\times10^{7}-4{,}758\times10^{5}=1{,}4524\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Aproximação para o logaritmo da razão:
\ln\!\left(\frac{f}{f^{at}}\right)\approx\frac{v_f}{RT}\left(P-P^{sat}\right).

Passo 5

Vamos calcular numericamente cada termo (mostrando as contas):
  • Produto v_f\,(P-P^{sat}):
v_f\,(P-P^{sat})=0{,}001091\times1{,}4524\times10^{7}=1{,}5846684\times10^{4}.
  • Produto RT:
RT=461{,}5\times423{,}15=195{,}284{,}7\\ (\mathrm{J\\ kg^{-1}}).
  • razão dentro do log:
\ln\!\left(\frac{f}{f^{at}}\right)\approx\frac{1{,}5846684\times10^{4}}{1{,}95284{,}7}=0{,}08113\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Finalmente, exponenciando para obter a razão:
\frac{f}{f^{at}}\approx\exp\!\left(0{,}08113\right)\approx1{,}0845\approx1{,}085.

Passo 7

Interpretação e comentário sobre precisão (didático e encorajador):
  • Resultado: f à 150\\ \mathrm{bar} é cerca de 8{,}5\% maior que a fugacidade do líquido saturado à mesma temperatura. Isso é razoável: líquidos são pouco compressíveis, então a fugacidade não varia muito com pressão.
  • A principal fonte de erro aqui é a aproximação v(T,P)\approx v_f(T). Se se desejar maior precisão, usar dados de compressibilidade do líquido (integrar \int v(T,P)\,dP com v dependente de P) ou tabelas/softwares que forneçam diretamente fugacidade de líquido comprimido. Para uma estimativa de prova essa aproximação é aceitável.
  • Força: anote a fórmula \ln(f/f^{at})\approx v_f(P-P^{sat})/(RT); ela é muito útil em problemas de fugacidade de líquidos comprimidos.

Resposta

\dfrac{f}{f^{at}}\approx1{,}085

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