Considere
mols de um gás ideal monoatômico
que realizam o seguinte ciclo reversível em um diagrama
:
-
Expansão isobárica do estado (
) até (
).
-
Resfriamento isocórico (volume constante) até que a pressão se reduza a
.
-
: Compressão adiabática retornando ao estado inicial (
).
Determine o trabalho total
realizado pelo ciclo em termos de
e
. (Lembre-se que para o processo adiabático
constante , onde
);
Calcule o calor trocado em cada etapa (
e
) e verifique se a soma total do calor é igual ao trabalho líquido (conforme a Primeira Lei para um ciclo,
);
Calcule a variação da energia interna na etapa
.
Calcule o calor trocado em cada etapa (
Calcule a variação da energia interna na etapa
Passo 1
O enunciado dá o seguinte ciclo e pede trabalho total, calores em cada etapa e variação de energia interna em B→C.
Dados e o que se pede:
- Número de mols:
(não necessário para resultado final em ). - Gas ideal monoatômico:
, portanto . - Estados e processos:
- A
B: expansão isobárica de até . - B
C: resfriamento isocórico (volume constante ) até que a pressão se reduza a (o enunciado afirma isto). - C
A: compressão adiabática reversível que retorna ao estado inicial . Para adiabático usa-se const com .
- A
- Perguntas:
- Determinar o trabalho total
do ciclo em termos de e . - Calcular os calores trocados
e verificar se a soma total dos calores é igual ao trabalho líquido (Primeira Lei para o ciclo). - Calcular a variação da energia interna na etapa
.
- Determinar o trabalho total
Passo 2
Checagem física importante (consistência dos dados).
- Para que exista uma compressão adiabática que leve
de volta exatamente a com , os pontos e devem satisfazer a mesma constante adiabática: - Com os dados fornecidos (segundo o enunciado) temos
e . Então Para igualar a é necessário , o que não vale aqui ( ). Logo, com não existe um adiabático com que ligue a . - Conclusão: o enunciado, tal como está escrito, é inconsistente (não é possível retornar a
adiabaticamente se em a pressão for e ).
Para seguir e obter resultados físicos consistentes precisamos usar o valor de
que torna possível a adiabática
. Assim, impomos
Ou seja, o valor de pressão em
compatível com o fechamento adiabático é
A partir daqui eu resolvo o problema assumindo esse valor (isto é: assumo que o enunciado queria um
tal que a adiabat volte a
). Se o enunciado realmente exigia
, então o ciclo pedido não existe com
.
Passo 3
Ferramentas e convensões rápidas (para uso nas contas):
- Lei dos gases ideais:
. Assim . - Trabalho realizado pelo gás (convencionalmente trabalho positivo quando o gás realiza trabalho):
. Para processo isobárico ; para isocórico ; para adiabático com constante na adiabat. - Primeira lei (por processo):
. Para gás ideal monoatômico e . - Valores específicos:
Passo 4
Cálculo detalhado da etapa A
B (isobárica,
,
).
- Trabalho:
Explicando: em isobárico o trabalho é pressão vezes variação de volume; aqui a variação é . - Temperaturas nos estados A e B usando
: - Calor trocado (isobárico):
. Substituindo: Observação didática: os e cancelam daqui, por isso o resultado só depende de . - Variação da energia interna:
- Verificação local da primeira lei:
dá , consistente.
Passo 5
Cálculo da etapa B
C (isocórica,
, de
até
compatível com a adiabat).
- Conforme Passo 2 usamos
. - Trabalho: como
constante, - Temperaturas:
Explicando: em isocórico a temperatura é proporcional à pressão; assim . - Calor trocado (como
, ): Mas (pela ideal), então - Para
isso fica Observação: este valor é negativo (resfriamento), pois . - Variação da energia interna na etapa:
Passo 6
Cálculo da etapa C
A (adiabática reversível,
).
- Para adiabat:
. Assim, por primeira lei: . - Calculemos
. Usando e , obtemos Então - Trabalho na etapa:
Observação: para tem então . - Substituindo
em forma conveniente: É negativo (compressão).
Passo 7
Trabalho total do ciclo e verificação da Primeira Lei.
- Trabalho total:
Simplificando: - Soma dos calores:
Agrupando: Mas nota-se que (porque ), logo Portanto , conforme esperado para um ciclo ( ).
Passo 8
Resumo das expressões (com
):
-
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-
-
(adiabático). -
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