Considere n mols de um gás ideal monoatômico \left(C_{V}=\frac{3}{2} R\right) que realizam o seguinte ciclo reversível em um diagrama p-V :
  • \boldsymbol{A} \rightarrow \boldsymbol{B}: Expansão isobárica do estado ( p_{0}, V_{0} ) até ( p_{0}, 2 V_{0} ).
  • \boldsymbol{B} \rightarrow \boldsymbol{C}: Resfriamento isocórico (volume constante) até que a pressão se reduza a \frac{p_{0}}{2}.
  • \boldsymbol{C} \rightarrow \boldsymbol{A} : Compressão adiabática retornando ao estado inicial ( p_{0}, V_{0} ).
Determine o trabalho total W_{\text {total }} realizado pelo ciclo em termos de p_{0} e V_{0}. (Lembre-se que para o processo adiabático p V^{\gamma}= constante , onde \gamma=5 / 3 );
Calcule o calor trocado em cada etapa ( Q_{A B}, Q_{B C} e Q_{C A} ) e verifique se a soma total do calor é igual ao trabalho líquido (conforme a Primeira Lei para um ciclo, \Delta U=0 );
Calcule a variação da energia interna na etapa \boldsymbol{B} \rightarrow \boldsymbol{C}.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte ciclo e pede trabalho total, calores em cada etapa e variação de energia interna em B→C.
Dados e o que se pede:
  • Número de mols: n (não necessário para resultado final em p_0,V_0).
  • Gas ideal monoatômico: C_V=\tfrac{3}{2}R, portanto C_P=C_V+R=\tfrac{5}{2}R.
  • Estados e processos:
    • A \to B: expansão isobárica de (p_0,V_0) até (p_0,2V_0).
    • B \to C: resfriamento isocórico (volume constante V=2V_0) até que a pressão se reduza a \tfrac{p_0}{2} (o enunciado afirma isto).
    • C \to A: compressão adiabática reversível que retorna ao estado inicial (p_0,V_0). Para adiabático usa-se pV^{\gamma}= const com \gamma=\tfrac{5}{3}.
  • Perguntas:
    1. Determinar o trabalho total W_{\text{total}} do ciclo em termos de p_0 e V_0.
    2. Calcular os calores trocados Q_{AB},Q_{BC},Q_{CA} e verificar se a soma total dos calores é igual ao trabalho líquido (Primeira Lei para o ciclo).
    3. Calcular a variação da energia interna na etapa B\to C.

Passo 2

Checagem física importante (consistência dos dados).
  • Para que exista uma compressão adiabática que leve C de volta exatamente a A com \gamma=\tfrac{5}{3}, os pontos C e A devem satisfazer a mesma constante adiabática: p_C V_C^{\gamma}=p_A V_A^{\gamma}.
  • Com os dados fornecidos (segundo o enunciado) temos p_A=p_0,\;V_A=V_0 e p_C=\tfrac{p_0}{2},\;V_C=2V_0. Então \frac{p_C V_C^{\gamma}}{p_A V_A^{\gamma}}=\frac{\tfrac{p_0}{2}\,(2V_0)^{\gamma}}{p_0 V_0^{\gamma}}=2^{\gamma-1}.Para igualar a 1 é necessário 2^{\gamma-1}=1\Rightarrow\gamma=1, o que não vale aqui ( \gamma=\tfrac{5}{3}). Logo, com p_C=\tfrac{p_0}{2} não existe um adiabático com \gamma=\tfrac{5}{3} que ligue C a A.
  • Conclusão: o enunciado, tal como está escrito, é inconsistente (não é possível retornar a A adiabaticamente se em C a pressão for \tfrac{p_0}{2} e \gamma=\tfrac{5}{3}).
Para seguir e obter resultados físicos consistentes precisamos usar o valor de p_C que torna possível a adiabática C\to A. Assim, impomos
p_C V_C^{\gamma}=p_A V_A^{\gamma}\quad\Rightarrow\quad p_C=p_A\left(\frac{V_A}{V_C}\right)^{\gamma}=p_0\left(\frac{V_0}{2V_0}\right)^{\gamma}=p_0\,2^{-\gamma}.
Ou seja, o valor de pressão em C compatível com o fechamento adiabático é
p_C=p_0\,2^{-\gamma}=p_0\,2^{-5/3}.
A partir daqui eu resolvo o problema assumindo esse valor (isto é: assumo que o enunciado queria um C tal que a adiabat volte a A). Se o enunciado realmente exigia p_C=\tfrac{p_0}{2}, então o ciclo pedido não existe com \gamma=\tfrac{5}{3}.

Passo 3

Ferramentas e convensões rápidas (para uso nas contas):
  • Lei dos gases ideais: pV=nRT. Assim T=\dfrac{pV}{nR}.
  • Trabalho realizado pelo gás (convencionalmente trabalho positivo quando o gás realiza trabalho): W=\int p\,dV. Para processo isobárico W=p\,\Delta V; para isocórico W=0; para adiabático W=\int_{V_i}^{V_f} K V^{-\gamma} dV com K=pV^{\gamma} constante na adiabat.
  • Primeira lei (por processo): \Delta U = Q - W. Para gás ideal monoatômico U=n C_V T e \Delta U = n C_V \Delta T.
  • Valores específicos: C_V=\tfrac{3}{2}R,\;C_P=\tfrac{5}{2}R,\;\gamma=\tfrac{C_P}{C_V}=\tfrac{5}{3}.

Passo 4

Cálculo detalhado da etapa A \to B (isobárica, p=p_0, V:V_0\to2V_0).
  • Trabalho: W_{AB}=p_0(2V_0-V_0)=p_0V_0.Explicando: em isobárico o trabalho é pressão vezes variação de volume; aqui a variação é V_0.
  • Temperaturas nos estados A e B usando pV=nRT: T_A=\frac{p_0V_0}{nR},\qquad T_B=\frac{p_0(2V_0)}{nR}=2\frac{p_0V_0}{nR}.
  • Calor trocado (isobárico): Q_{AB}=nC_P(T_B-T_A). Substituindo: Q_{AB}=n\cdot\frac{5}{2}R\left(\frac{p_0V_0}{nR}\right)=\frac{5}{2}p_0V_0.Observação didática: os n e R cancelam daqui, por isso o resultado só depende de p_0V_0.
  • Variação da energia interna: \Delta U_{AB}=nC_V(T_B-T_A)=n\cdot\frac{3}{2}R\left(\frac{p_0V_0}{nR}\right)=\frac{3}{2}p_0V_0.
  • Verificação local da primeira lei: \Delta U_{AB}=Q_{AB}-W_{AB} \tfrac{3}{2}p_0V_0=\tfrac{5}{2}p_0V_0-p_0V_0, consistente.

Passo 5

Cálculo da etapa B \to C (isocórica, V=2V_0, de p=p_0 até p=p_C compatível com a adiabat).
  • Conforme Passo 2 usamos p_C=p_0 2^{-\gamma}=p_0 2^{-5/3}.
  • Trabalho: como V constante, W_{BC}=0.
  • Temperaturas: T_B=\frac{p_0\cdot 2V_0}{nR},\qquad T_C=\frac{p_C\cdot 2V_0}{nR}=\frac{p_0\cdot 2V_0}{nR}\,2^{-\gamma}=T_B\,2^{-\gamma}.Explicando: em isocórico a temperatura é proporcional à pressão; assim T_C=T_B(p_C/p_B)=T_B 2^{-\gamma}.
  • Calor trocado (como W=0, Q_{BC}=\Delta U_{BC}=nC_V(T_C-T_B)): Q_{BC}=n\cdot\frac{3}{2}R\big(T_B(2^{-\gamma}-1)\big)=\frac{3}{2}nRT_B(2^{-\gamma}-1).Mas nR T_B=p_0\cdot 2V_0 (pela ideal), então Q_{BC}=\frac{3}{2}\big(p_0\cdot 2V_0\big)(2^{-\gamma}-1)=3p_0V_0(2^{-\gamma}-1).
  • Para \gamma=\tfrac{5}{3} isso fica Q_{BC}=3p_0V_0\big(2^{-5/3}-1\big).Observação: este valor é negativo (resfriamento), pois 2^{-5/3}<1.
  • Variação da energia interna na etapa: \Delta U_{BC}=Q_{BC}=3p_0V_0(2^{-\gamma}-1).

Passo 6

Cálculo da etapa C \to A (adiabática reversível, Q_{CA}=0).
  • Para adiabat: Q_{CA}=0. Assim, por primeira lei: \Delta U_{CA} = -W_{CA}.
  • Calculemos \Delta U_{CA}=nC_V(T_A-T_C). Usando T_A=\dfrac{p_0V_0}{nR} e T_C=T_B 2^{-\gamma}=2\dfrac{p_0V_0}{nR}\,2^{-\gamma}= \dfrac{p_0V_0}{nR}\,2^{1-\gamma}, obtemos T_A-T_C=\frac{p_0V_0}{nR}\big(1-2^{1-\gamma}\big).Então \Delta U_{CA}=n\cdot\frac{3}{2}R\cdot\frac{p_0V_0}{nR}\big(1-2^{1-\gamma}\big)=\frac{3}{2}p_0V_0\big(1-2^{1-\gamma}\big).
  • Trabalho na etapa: W_{CA}=-\Delta U_{CA}=-\frac{3}{2}p_0V_0\big(1-2^{1-\gamma}\big)=\frac{3}{2}p_0V_0\big(2^{1-\gamma}-1\big).Observação: para \gamma=\tfrac{5}{3} tem 1-\gamma=-\tfrac{2}{3} então 2^{1-\gamma}=2^{-2/3}.
  • Substituindo \gamma=\tfrac{5}{3} em forma conveniente: W_{CA}=\frac{3}{2}p_0V_0\big(2^{-2/3}-1\big).É negativo (compressão).

Passo 7

Trabalho total do ciclo e verificação da Primeira Lei.
  • Trabalho total: W_{\text{total}}=W_{AB}+W_{BC}+W_{CA}=p_0V_0+0+\frac{3}{2}p_0V_0\big(2^{-2/3}-1\big).Simplificando: W_{\text{total}}=p_0V_0\Big(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}2^{-2/3}\Big) =\frac{p_0V_0}{2}\big(-1+3\cdot 2^{-2/3}\big).
  • Soma dos calores: Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CA}=\frac{5}{2}p_0V_0+3p_0V_0(2^{-5/3}-1)+0.Agrupando: Q_{\text{total}}=p_0V_0\Big(-\tfrac{1}{2}+3\cdot 2^{-5/3}\Big).Mas nota-se que 3\cdot 2^{-5/3}=\tfrac{3}{2}2^{-2/3} (porque 2^{-5/3}=2^{-2/3}/2), logo Q_{\text{total}}=p_0V_0\Big(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}2^{-2/3}\Big)=W_{\text{total}}.Portanto Q_{\text{total}}=W_{\text{total}}, conforme esperado para um ciclo ( \Delta U_{\text{ciclo}}=0).

Passo 8

Resumo das expressões (com \gamma=\tfrac{5}{3}):
  • W_{AB}=p_0V_0.
  • Q_{AB}=\dfrac{5}{2}p_0V_0.
  • W_{BC}=0.
  • Q_{BC}=3p_0V_0\big(2^{-5/3}-1\big).
  • Q_{CA}=0 (adiabático).
  • W_{CA}=\dfrac{3}{2}p_0V_0\big(2^{-2/3}-1\big).
  • W_{\text{total}}=p_0V_0\Big(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}2^{-2/3}\Big).
  • \Delta U_{BC}=Q_{BC}=3p_0V_0\big(2^{-5/3}-1\big).

Resposta

W_{\text{total}}=p_0V_0\Big(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}2^{-2/3}\Big)
Q_{AB}=\dfrac{5}{2}p_0V_0
Q_{BC}=3p_0V_0\big(2^{-5/3}-1\big)
Q_{CA}=0
\Delta U_{BC}=3p_0V_0\big(2^{-5/3}-1\big)

Exercícios relacionados