Para um dos casos a seguir, determine a razão entre as fugacidades no estado final e no estado inicial para o vapor d’água passando por uma mudança de estado isotérmica:
(b) De 1000(\mathrm{psia}) e 800\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) para uma pressão de 50(\mathrm{psia}).

Passo 1

O que o problema dá e o que pede (vou listar tudo certinho):
  • Estado inicial: pressão P_1 = 1000\\ \mathrm{psia} e temperatura T = 800^\circ\mathrm{F}.
  • Estado final: pressão P_2 = 50\\ \mathrm{psia} e mesma temperatura T = 800^\circ\mathrm{F} (processo isotérmico).
    O enunciado pede: determinar a razão entre as fugacidades no estado final e no estado inicial, ou seja calcular
\frac{f_2}{f_1}.

Passo 2

O que é fugacidade e como a gente trabalha com ela (aula rápida, bem direta).
  • Fugacidade f é uma “pressão efetiva” que substitui a pressão para lidar com não-idealidade; para um gás real vale
f = \varphi\,P,
onde \varphi é o coeficiente de fugacidade (fugacity coefficient). Para gás ideal \varphi=1.
  • Portanto, para dois estados à mesma temperatura a razão que queremos é
\frac{f_2}{f_1}=\frac{\phi_2 P_2}{\phi_1 P_1}.
  • Existe uma relação prática que liga \varphi ao fator de compressibilidade Z (que mede desvios do gás real do comportamento ideal): para processo isotérmico
\ln\varphi(P)=\int_{0}^{P}\frac{Z(P')-1}{P'}\,\mathrm{d}P'.
Essa fórmula é muito usada: Z=PV/(RT). A partir dela obtemos, manipulado para dois estados à mesma T,
\ln\!\left(\frac{\phi_2}{\phi_1}\right)=\int_{P_1}^{P_2}\frac{Z(P)-1}{P}\,\mathrm{d}P,
e então
\frac{f_2}{f_1}=\frac{P_2}{P_1}\exp\!\left(\int_{P_1}^{P_2}\frac{Z(P)-1}{P}\,\mathrm{d}P\right).
Isto é importantíssimo: a razão de fugacidades é a razão de pressões multiplicada por um fator exponencial que vem dos desvios (via Z).

Passo 3

Como avaliar a integral na prática (método que se usa na prova sem tabelas complicadas).
  • Uma aproximação comum para Z é a expansão virial:
Z \approx 1 + \frac{B(T) P}{R T} + \cdots,
onde B(T) é o segundo coeficiente virial (depende só de T). Inserindo essa forma na integral e mantendo só o primeiro termo dá
\int_{P_1}^{P_2}\frac{Z-1}{P}\,\mathrm{d}P \approx \int_{P_1}^{P_2}\frac{B(T)}{R T}\,\mathrm{d}P = \frac{B(T)}{R T}\,(P_2-P_1),
se \,B(T)\, variar pouco com P (o que é razoável porque B depende só de T). Assim obtemos uma fórmula prática:
\frac{f_2}{f_1}\approx\frac{P_2}{P_1}\exp\!\left(\frac{B(T)}{R T}(P_2-P_1)\right).
  • Explicando as variáveis:
    • B(T) = segundo coeficiente virial a temperatura T (unidade de volume por mol),
    • R = constante universal dos gases na mesma unidade de pressão/volume usada,
    • T = temperatura absoluta (emboa T no enunciado está em ^{\circ}\mathrm{F}, para usar as fórmulas precisa transformar para uma escala absoluta, por exemplo Rankine: T_R=T_{{}^\circ\mathrm{F}}+459{,}67).

Passo 4

Aplicando ao caso concreto — aproximação ideal (explicando a escolha).
  • Para avaliar numericamente a expressão com correção precisa-se de B(T) (ou de um EOS tipo SRK/PR para calcular \varphi). O enunciado não fornece B(T) nem tabelas/valores de \varphi. Sem esses dados não dá para calcular a correção precisa aqui.
  • A aproximação mais simples e muitas vezes usada em testes quando não há dados de não-idealidade é assumir comportamento ideal do vapor (ou seja \phi_1=\phi_2=1). Nesse caso a integral é zero e
\frac{f_2}{f_1}=\frac{P_2}{P_1}.
  • Substituindo os valores numéricos (tudo em TeX):
\frac{f_2}{f_1}=\frac{50}{1000}=\;0,05.
  • Intuição curta: isso significa que, na aproximação ideal, a fugacidade cai na mesma proporção que a pressão.

Passo 5

Avaliação da qualidade da resposta e como melhorar (dica prática para prova).
  • Observação sobre validade: a temperatura dada T=800^\circ\mathrm{F} corresponde a T\approx 1259{,}67\\ \mathrm{R} (Rankine) — é uma temperatura muito alta e pode reduzir desvios, mas a pressão inicial 1000\\ \mathrm{psia} é alta o bastante para causar desvios não-negligenciáveis. Portanto a resposta 0,05 é uma aproximação (ideal) e pode diferir da razão real.
  • Como obter resposta mais precisa na prova:
    • usar tabelas ou software para obter \varphi em P_1,T e em P_2,T (por exemplo a partir de uma EOS cúbica como Peng–Robinson ou de dados de coeficiente virial B(T));
    • ou usar a fórmula integrada com Z(P) (se houver curva/valores de Z disponíveis).
  • Se você quiser, eu faço o cálculo com uma EOS (por exemplo Peng–Robinson) ou usando B(T) — para isso eu preciso dos valores de B(T) ou posso assumir parâmetros típicos do vapor d’água (eu posso buscar/usar valores tabelados se você quiser que eu prossiga).

Resposta

0,05

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