Com base na regra da cadeia resolva:
Se y=x e^{x}, determine \ddot{y}.

Passo 1

O enunciado dá a função y = x e^{x} e pede para determinar \ddot{y}.
Informações relevantes e hipótese que vou usar (não foi dada explicitamente, mas é padrão neste tipo de problema):
  • O ponto-chave é que os pontos (.) indicam derivada em relação a um parâmetro (normalmente o tempo). Ou seja, \dot{y} = \dfrac{dy}{dt} e \ddot{y} = \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
  • A variável x depende desse parâmetro: x = x(t). Logo y depende de t indiretamente através de x(t).
  • O que o exercício pede é a segunda derivada de y em relação a t: \ddot{y}=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.

Passo 2

Primeiro vamos achar a derivada \dfrac{dy}{dx} como função de x. Para isso uso a regra do produto, que diz o seguinte: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x)=x e v(x)=e^{x}. Calculando:
\frac{d}{dx}\big(x e^{x}\big)=\underbrace{1}_{u'(x)}\cdot e^{x}+x\cdot\underbrace{e^{x}}_{v'(x)}=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).

Passo 3

Agora aplico a regra da cadeia para obter \dot{y}=\dfrac{dy}{dt}. A regra da cadeia diz: se y=y(x) e x=x(t), então
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}.
Usando \dfrac{dy}{dx}=e^{x}(1+x) e \dot{x}=\dfrac{dx}{dt}, obtemos
\dot{y}=e^{x}(1+x)\dot{x}.

Passo 4

Agora precisamos de \ddot{y}=\dfrac{d}{dt}(\dot{y})=\dfrac{d}{dt}\big(e^{x}(1+x)\dot{x}\big). Vamos derivar esse produto com cuidado. É útil ver e^{x}(1+x)\dot{x} como produto de duas funções de t:
  • u(t)=e^{x(t)}(1+x(t)),
  • v(t)=\dot{x}(t).
A regra do produto para derivadas em t é
\frac{d}{dt}\big(u v\big)=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt}.
Aplicando:
\ddot{y}=\frac{d}{dt}\big(e^{x}(1+x)\big)\dot{x}+e^{x}(1+x)\ddot{x}.

Passo 5

Falta calcular \dfrac{d}{dt}\big(e^{x}(1+x)\big). Novamente uso a regra da cadeia: seja w(x)=e^{x}(1+x), então \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{dw}{dx}\dfrac{dx}{dt}. Já calculamos algo semelhante antes; agora computamos \dfrac{dw}{dx} usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(1+x)\big)=e^{x}(1+x)+e^{x}\cdot 1=e^{x}(1+x)+e^{x}=e^{x}(2+x).
Portanto
\frac{d}{dt}\big(e^{x}(1+x)\big)=e^{x}(2+x)\dot{x}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em \ddot{y} da etapa anterior, temos
\ddot{y}=\big(e^{x}(2+x)\dot{x}\big)\dot{x}+e^{x}(1+x)\ddot{x}.
Multiplicando \dot{x} pela outra \dot{x}:
\ddot{y}=e^{x}(2+x)\dot{x}^{2}+e^{x}(1+x)\ddot{x}.

Passo 7

Por fim, fatoro e^{x} para deixar a expressão mais compacta:
\ddot{y}=e^{x}\big((2+x)\dot{x}^{2}+(1+x)\ddot{x}\big).

Resposta

\ddot{y}=e^{x}\big((2+x)\dot{x}^{2}+(1+x)\ddot{x}\big)

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