Com base na regra da cadeia resolva:
Se y=x e^{x}, determine \ddot{y}.
Passo 1
O enunciado dá a função y = x e^{x} e pede para determinar \ddot{y}.
Informações relevantes e hipótese que vou usar (não foi dada explicitamente, mas é padrão neste tipo de problema):
O ponto-chave é que os pontos (.) indicam derivada em relação a um parâmetro (normalmente o tempo). Ou seja, \dot{y} = \dfrac{dy}{dt} e \ddot{y} = \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
A variável x depende desse parâmetro: x = x(t). Logo y depende de t indiretamente através de x(t).
O que o exercício pede é a segunda derivada de y em relação a t: \ddot{y}=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
Passo 2
Primeiro vamos achar a derivada \dfrac{dy}{dx} como função de x. Para isso uso a regra do produto, que diz o seguinte: se u(x) e v(x) são funções, então
Agora aplico a regra da cadeia para obter \dot{y}=\dfrac{dy}{dt}. A regra da cadeia diz: se y=y(x) e x=x(t), então
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}.
Usando \dfrac{dy}{dx}=e^{x}(1+x) e \dot{x}=\dfrac{dx}{dt}, obtemos
\dot{y}=e^{x}(1+x)\dot{x}.
Passo 4
Agora precisamos de \ddot{y}=\dfrac{d}{dt}(\dot{y})=\dfrac{d}{dt}\big(e^{x}(1+x)\dot{x}\big). Vamos derivar esse produto com cuidado. É útil ver e^{x}(1+x)\dot{x} como produto de duas funções de t:
Falta calcular \dfrac{d}{dt}\big(e^{x}(1+x)\big). Novamente uso a regra da cadeia: seja w(x)=e^{x}(1+x), então \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{dw}{dx}\dfrac{dx}{dt}. Já calculamos algo semelhante antes; agora computamos \dfrac{dw}{dx} usando a regra do produto: