Um bloco de 20 N está em repouso sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é de 0,4 , qual é a menor força paralela ao plano necessária para impedir que o bloco deslize para baixo? E qual é a maior força paralela ao plano que pode ser aplicada sem que o bloco deslize para cima?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Qual é a menor força paralela ao plano necessária para impedir que o bloco deslize para baixo?
  2. Qual é a maior força paralela ao plano que pode ser aplicada sem que o bloco deslize para cima?
Informações dadas:
W=20\\ \text{N}
\theta=30^\circ
\mu_s=0,4
O bloco está sobre o plano inclinado e queremos forças aplicadas paralelas ao plano (assumiremos como positivo o sentido para cima ao longo do plano). Não foi dada aceleração, então procuramos condições de equilíbrio estático.

Passo 2

Vamos decompor o peso do bloco em componentes paralela e perpendicular ao plano — isso é básico e muito útil: o peso \,W aponta vertical para baixo; geometria simples nos dá as componentes relativas ao plano inclinado.
A componente paralela ao plano é
W_{\parallel}=W\sin\theta.
A componente perpendicular (que é balanceada pela normal) é
W_{\perp}=W\cos\theta.
Explicando: desenhe o vetor peso apontando pra baixo e um triângulo retângulo formado pelas direções “normal ao plano” e “paralela ao plano”. O ângulo entre W e a normal é \theta, por isso surgem \sin\theta e \cos\theta.

Passo 3

Calculemos numericamente essas componentes usando \sin30^\circ=\tfrac{1}{2} e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
W_{\parallel}=20\cdot\sin30^\circ=20\cdot\tfrac{1}{2}=10\\ \text{N}.
W_{\perp}=20\cdot\cos30^\circ=20\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\\ \text{N}\approx17,32\\ \text{N}.
Observação: a normal N que o plano exerce sobre o bloco, na ausência de aceleração perpendicular, é igual a W_{\perp}, ou seja
N=10\sqrt{3}\\ \text{N}.

Passo 4

Agora a força de atrito estático máxima: lembrando a lei básica do atrito estático
f_{s,\max}=\mu_s N,
onde N é a força normal e \mu_s o coeficiente de atrito estático. Interpretação: o atrito estático pode assumir qualquer valor até esse máximo, sempre no sentido de opor o movimento tendente.
Calculemos:
f_{s,\max}=\mu_s N = 0,4\cdot 10\sqrt{3}=4\sqrt{3}\\ \text{N}\approx6,93\\ \text{N}.

Passo 5

Primeiro objetivo: impedir que o bloco deslize para baixo. Sem força externa, a tendência é deslizar para baixo porque W_{\parallel}=10\\ \text{N} e o atrito máximo 6,93\\ \text{N} não é suficiente. Se aplicarmos uma força F paralela ao plano para cima, ela soma com a força de atrito (quando esta atua para cima) para equilibrar W_{\parallel}.
Equilíbrio ao longo do plano (tomando positivo para cima):
F + f = W_{\parallel},
onde f é a força de atrito estático (aqui atuando para cima até o máximo possível). Para minimizar F deixamos o atrito assumir seu valor máximo f_{s,\max}. Assim
F_{\min}=W_{\parallel}-f_{s,\max}.
Substituindo números:
F_{\min}=10-4\sqrt{3}\\ \text{N}\approx 10-6,9282\\ \text{N}\approx 3,07\\ \text{N}.
Interpretação: precisamos aplicar pelo menos \approx3,07\\ \text{N} para cima (paralela ao plano) para que, somada ao atrito máximo, neutralize a componente do peso e o bloco não deslize para baixo.

Passo 6

Segundo objetivo: qual é a maior força paralela ao plano que pode ser aplicada sem que o bloco deslize para cima?
Se aplicarmos uma força F para cima bastante grande, a tendência será mover o bloco para cima e, nesse caso, o atrito estático atuará para baixo com magnitude até f_{s,\max}. Para que não haja deslizamento para cima, no equilíbrio ao longo do plano deve valer:
F - f = W_{\parallel}.
Aqui, para encontrar o maior F que ainda não provoca movimento para cima, tomamos f=f_{s,\max} (atuação máxima para baixo). Assim
F_{\max}=W_{\parallel}+f_{s,\max}.
Substituindo:
F_{\max}=10+4\sqrt{3}\\ \text{N}\approx 10+6,9282\\ \text{N}\approx 16,93\\ \text{N}.
Interpretação: qualquer força para cima maior que isso vencerá a atrito estático máximo e fará o bloco deslizar para cima.

Resposta

F_{\min}=10-4\sqrt{3}\\ \text{N}\approx 3,07\\ \text{N} (direção: para cima, ao longo do plano)\n
F_{\max}=10+4\sqrt{3}\\ \text{N}\approx 16,93\\ \text{N} (direção: para cima, ao longo do plano)

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