Um bloco retangular de largura 2 b e altura h, sob ação do seu próprio peso ( P, aplicado no centro de gravidade), está em repouso sobre uma superfície plana horizontal (Figura 17), com a qual tem um coeficiente de atrito \mu=\tan \left(\varphi^{\circ}\right). (a) Determine uma expressão para a distância, d, da sua linha de ação até a superfície, de modo que sejam iminentes simultaneamente, o deslizamento e o tombamento, isto é, para que o bloco esteja em condição de Equilíbrio Limite com relação a ambos (obs.: a expressão deverá ficar em função de b, P e F ). (b) Com base na expressão encontrada para d no item (a), determine o máximo valor de b ( b_{\text {max }} ) para o qual seria possível a ocorrência simultânea de tombamento e deslizamento. (c) tendo em conta os itens precedentes, sendo P=50 \mathrm{kN}(\approx 2.5 \mathrm{tf}), \mu=1\left(\varphi=45^{\circ}\right), b=0.5 \mathrm{~m} e h=1 \mathrm{~m}, encontre d e F para que haja deslizamento e tombamento simultâneos. (d) mantida a altura h e os valores de P e \mu do item (c), quais seriam o b_{\text {max }} e F para deslizamento e tombamento simultâneos?

Passo 1

O bloco tem largura 2b, altura h e peso P agindo no seu centro a uma distância horizontal b do vértice de apoio O. Aplica-se uma força horizontal F a uma altura d do solo. Há atrito com coeficiente \mu. Queremos, em equilíbrio limite simultâneo de deslize e tombamento:
(a) expressão de d em função de b,P,F;
(b) o maior b que ainda permite simultaneidade;
(c) para P=50,kN, \mu=1, b=0{,}5,m, h=1,m, calcular d e F;
(d) mantendo P,\mu,h do (c), determinar b_{\max} e F.

Passo 2

Condição de deslize iminente: a força de atrito atinge seu valor máximo
F = f_A^{\max} = \mu\,P.
Condição de tombamento iminente (momento em torno de O):
F\,d = P\,b.
Logo, de momento:
d = \frac{P\,b}{F}.

Passo 3

Para simultaneidade igualamos as duas expressões de F:
\mu\,P = \frac{P\,b}{d} \;\Longrightarrow\; d = \frac{b}{\mu}.
Como fisicamente d\le h, o maior b tal que ainda exista d\le h dá-se quando d=h:
h = \frac{b_{\max}}{\mu} \;\Longrightarrow\; b_{\max} = \mu\,h.

Passo 4

Para (c): P=50,kN, \mu=1, b=0{,}5,m, h=1,m.
Como b<b_{\max}=1,m, há simultaneidade com
d = \frac{b}{\mu} = 0{,}5\text{ m}, \qquad F = \mu\,P = 50\text{ kN}.

Passo 5

Para (d), mantendo P=50,kN, \mu=1, h=1,m, obtemos
b_{\max} = \mu\,h = 1\text{ m}, \qquad F = \mu\,P = 50\text{ kN}.

Resposta

(a) d = \displaystyle\frac{P\,b}{F}.
(b) b_{\max} = \mu\,h.
(c) d = 0{,}5,m, F = 50,kN.
(d) b_{\max} = 1,m, F = 50,kN.

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