Uma bomba de calor é usada para aquecer a água de uma piscina mantida a 27^{\circ} \mathrm{C}, cuja superfície, de área igual a 50 \mathrm{~m}^{2}, perde calor a uma taxa de 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} para cada grau de diferença de temperatura com o meio ambiente. A temperatura média do ambiente é de 7^{\circ} \mathrm{C}. Para a energia elétrica ao custo de \mathrm{R} \ 0,80 / \mathrm{kWh} , determine o custo mensal de operação de um aquecedor elétrico para manter a piscina aquecida 24 horas por dia. Determine a economia mensal (em reais) se o aquecedor elétrico fosse trocado por uma bomba de calor com um coeficiente de performance igual açãéé40 %$ do coeficiente de Carnot.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar o custo mensal de operação de um aquecedor elétrico que mantém a piscina a 27^\circ\mathrm{C} funcionando 24 h por dia.
  2. Determinar a economia mensal (em reais) caso o aquecedor elétrico seja substituído por uma bomba de calor cuja eficiência (coeficiente de performance) é igual a 40\% do coeficiente de Carnot.
Informações e dados fornecidos pelo enunciado:
  • Temperatura da piscina: 27^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura média do ambiente: 7^\circ\mathrm{C}.
  • Área da superfície da piscina: 50\\ \mathrm{m}^2.
  • Perda de calor pela superfície: 10\\ \mathrm{W/m}^2 por cada grau de diferença de temperatura.
  • Custo da energia elétrica: \mathrm{R}\$\,0{,}80/\mathrm{kWh}.
  • Tempo de operação considerado: 24 horas por dia durante um mês (vou usar 30 dias para o mês).

Passo 2

Calcular a diferença de temperatura entre a água e o ambiente, que é o que gera a perda de calor.
\Delta T = 27^\circ\mathrm{C} - 7^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C}.
Explicação: a perda de calor por grau é dada, então usamos a diferença de temperatura \Delta T em graus Celsius (que numericamente coincide com Kelvin para diferenças).

Passo 3

Calcular a taxa de perda de calor por unidade de área e depois a perda total.
A perda por área é dada por 10\\ \mathrm{W/m}^2 por grau, então a perda por área para \Delta T é
\dot{q} = 10\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}} \times \Delta T = 10 \times 20 = 200\\ \mathrm{W/m}^2.
Agora a perda total (potência térmica que deve ser fornecida continuamente) é
\dot{Q} = \dot{q} \times \text{área} = 200\\ \mathrm{W/m}^2 \times 50\\ \mathrm{m}^2 = 10\,000\\ \mathrm{W} = 10\\ \mathrm{kW}.á
Comentário didático: \dot{Q} é a potência térmica (taxa de calor) que o aquecedor precisa repor para manter a temperatura constante.

Passo 4

Calcular a energia elétrica mensal consumida por um aquecedor elétrico (resistivo) que converte 100% da energia elétrica em calor útil. Para aquecedores resistivos reais o coeficiente de performance é 1, ou seja, potência elétrica fornecida = \dot{Q}.
Energia por mês:
E_{\text{el}} = \dot{Q} \times \text{horas por dia} \times \text{dias} = 10\\ \mathrm{kW} \times 24 \times 30 = 7\,200\\ \mathrm{kWh}.
Explicação: 1\\ \mathrm{kW} durante 1\\ \mathrm{h} é 1\\ \mathrm{kWh}. Rodando 10\\ \mathrm{kW} durante 24\times 30 horas dá 7{,}200\\ \mathrm{kWh}.

Passo 5

Calcular o custo mensal do aquecedor elétrico usando o preço da eletricidade.
\text{Custo}_{\text{el}} = E_{\text{el}} \times \text{preço} = 7\,200\\ \mathrm{kWh} \times 0{,}80\\ \mathrm{R\$}/\mathrm{kWh} = 5\,760\\ \mathrm{R\$}.ç
Comentário: esse é o custo mensal para manter a piscina aquecida com um aquecedor elétrico puro.

Passo 6

Calcular o coeficiente de performance ideal de Carnot para uma bomba de calor, e depois a COP real dada como 40\% do ideal.
Fórmula do coeficiente de performance de Carnot para bomba de calor (aquecimento): \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_{\text{quente}}}{T_{\text{quente}} - T_{\text{frio}}}.
Aqui T_{\text{quente}} é a temperatura absoluta da água quente e T_{\text{frio}} é a temperatura absoluta do ambiente (ambiente é a fonte fria). Importante: usar Kelvin nas temperaturas absolutas.
Converter temperaturas para Kelvin:
T_{\text{quente}} = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{frio}} = 7^\circ\mathrm{C} = 7 + 273{,}15 = 280{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calcular \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} e a COP real da bomba (que é 40\% do ideal).
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{300{,}15}{300{,}15 - 280{,}15} = \frac{300{,}15}{20} = 15{,}0075.
COP real ( 40\% do Carnot):
\mathrm{COP}_{\text{bomba}} = 0{,}4 \times 15{,}0075 = 6{,}003.
Explicação: a COP diz quantas unidades de calor são entregues por unidade de energia elétrica consumida. Uma COP maior que 1 significa que a bomba entrega mais calor do que a energia elétrica consumida, porque está movendo calor do ambiente.

Passo 8

Calcular a potência elétrica necessária pela bomba de calor para fornecer \dot{Q}=10\\ \mathrm{kW} de calor:
\dot{W}_{\text{bomba}} = \frac{\dot{Q}}{\mathrm{COP}_{\text{bomba}}} = \frac{10\\ \mathrm{kW}}{6{,}003} \approx 1{,}666\\ \mathrm{kW}.
Energia elétrica mensal consumida pela bomba:
E_{\text{bomba}} = \dot{W}_{\text{bomba}} \times 24 \times 30 = \frac{7\,200\\ \mathrm{kWh}}{6{,}003} \approx 1\,200\\ \mathrm{kWh}.
Observação: é mais direto dividir a energia mensal necessária para aquecimento ( 7{,}200\\ \mathrm{kWh}) pela COP da bomba para obter o consumo elétrico mensal da bomba.

Passo 9

Calcular o custo mensal de operação da bomba de calor e a economia relativa ao aquecedor elétrico.
Custo mensal da bomba:
\text{Custo}_{\text{bomba}} = E_{\text{bomba}} \times 0{,}80\\ \mathrm{R\$}/\mathrm{kWh} \approx 1\,200\\ \mathrm{kWh} \times 0{,}80 = 960\\ \mathrm{R\$}.
Economia mensal ao trocar o aquecedor elétrico pela bomba:
\text{Economia} = \text{Custo}_{\text{el}} - \text{Custo}_{\text{bomba}} = 5\,760\\ \mathrm{R\$} - 960\\ \mathrm{R\$} = 4\,800\\ \mathrm{R\$}.
Comentário final e incentivo: dá pra ver que a bomba de calor, mesmo com eficiência real escolhida, reduz muito o consumo elétrico — isso normalmente paga parte do investimento inicial ao longo do tempo. Você já fez a parte mais chata: conta e comparação. Tá indo bem!

Resposta

Custo mensal do aquecedor elétrico: 5\,760\\ \mathrm{R\$}.
Economia mensal ao usar a bomba de calor (40% do Carnot): 4\,800\\ \mathrm{R\$}.

Exercícios relacionados