Uma bomba de calor é usada para aquecer a água de uma piscina mantida a
, cuja superfície, de área igual a
, perde calor a uma taxa de
para cada grau de diferença de temperatura com o meio ambiente. A temperatura média do ambiente é de
. Para a energia elétrica ao custo de
0,80 / \mathrm{kWh}
40 %$ do coeficiente de Carnot.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o custo mensal de operação de um aquecedor elétrico que mantém a piscina a
funcionando 24 h por dia. - Determinar a economia mensal (em reais) caso o aquecedor elétrico seja substituído por uma bomba de calor cuja eficiência (coeficiente de performance) é igual a
do coeficiente de Carnot.
Informações e dados fornecidos pelo enunciado:
- Temperatura da piscina:
. - Temperatura média do ambiente:
. - Área da superfície da piscina:
. - Perda de calor pela superfície:
por cada grau de diferença de temperatura. - Custo da energia elétrica:
. - Tempo de operação considerado:
horas por dia durante um mês (vou usar dias para o mês).
Passo 2
Calcular a diferença de temperatura entre a água e o ambiente, que é o que gera a perda de calor.
Explicação: a perda de calor por grau é dada, então usamos a diferença de temperatura
em graus Celsius (que numericamente coincide com Kelvin para diferenças).
Passo 3
Calcular a taxa de perda de calor por unidade de área e depois a perda total.
A perda por área é dada por por grau, então a perda por área para
é
A perda por área é dada por
Agora a perda total (potência térmica que deve ser fornecida continuamente) é
Comentário didático:
é a potência térmica (taxa de calor) que o aquecedor precisa repor para manter a temperatura constante.
Passo 4
Calcular a energia elétrica mensal consumida por um aquecedor elétrico (resistivo) que converte 100% da energia elétrica em calor útil. Para aquecedores resistivos reais o coeficiente de performance é
, ou seja, potência elétrica fornecida
.
Energia por mês:
Explicação:
durante
é
. Rodando
durante
horas dá
.
Passo 5
Calcular o custo mensal do aquecedor elétrico usando o preço da eletricidade.
Comentário: esse é o custo mensal para manter a piscina aquecida com um aquecedor elétrico puro.
Passo 6
Calcular o coeficiente de performance ideal de Carnot para uma bomba de calor, e depois a COP real dada como
do ideal.
Fórmula do coeficiente de performance de Carnot para bomba de calor (aquecimento):
Aqui
é a temperatura absoluta da água quente e
é a temperatura absoluta do ambiente (ambiente é a fonte fria). Importante: usar Kelvin nas temperaturas absolutas.
Converter temperaturas para Kelvin:
Passo 7
Calcular
e a COP real da bomba (que é
do ideal).
COP real (
do Carnot):
Explicação: a COP diz quantas unidades de calor são entregues por unidade de energia elétrica consumida. Uma COP maior que
significa que a bomba entrega mais calor do que a energia elétrica consumida, porque está movendo calor do ambiente.
Passo 8
Calcular a potência elétrica necessária pela bomba de calor para fornecer
de calor:
Energia elétrica mensal consumida pela bomba:
Observação: é mais direto dividir a energia mensal necessária para aquecimento (
) pela COP da bomba para obter o consumo elétrico mensal da bomba.
Passo 9
Calcular o custo mensal de operação da bomba de calor e a economia relativa ao aquecedor elétrico.
Custo mensal da bomba:
Custo mensal da bomba:
Economia mensal ao trocar o aquecedor elétrico pela bomba:
Comentário final e incentivo: dá pra ver que a bomba de calor, mesmo com eficiência real escolhida, reduz muito o consumo elétrico — isso normalmente paga parte do investimento inicial ao longo do tempo. Você já fez a parte mais chata: conta e comparação. Tá indo bem!
Resposta
Custo mensal do aquecedor elétrico:
.
Economia mensal ao usar a bomba de calor (40% do Carnot): .
Economia mensal ao usar a bomba de calor (40% do Carnot):