1-Formular la ley de conducción del calor para el caso de pared plana supuesta por el método de las resistencias y generalizar los resultados para otro tipo de pardes, alindricas y espíricas
Passo 1
O que o enunciado pede: formular a lei da condução de calor usando o método das resistências para uma parede plana e depois generalizar para paredes cilíndricas e esféricas.
Informações e condições dadas (implícitas no pedido): temperaturas conhecidas nas superfícies internas/externas e
, condutividade térmica do material
(assumimos constante), geometria (plana com área
e espessura
; cilíndrica com raios interno
e externo
e comprimento
; esférica com raios
e
). Pressupostos padrão que usaremos: regime permanente (estado estacionário), condução unidimensional na direção relevante, propriedades homogêneas e isotrópicas e ausência de geração interna de calor.
Informações e condições dadas (implícitas no pedido): temperaturas conhecidas nas superfícies internas/externas
Passo 2
Conceito básico: Lei de Fourier para condução. Vou explicar devagar e com carinho. A lei de Fourier diz que, localmente, a taxa de fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor) é proporcional ao gradiente de temperatura e ao coeficiente de condutividade. Em forma matemática a lei é:
Aqui:
-
é o fluxo de calor por unidade de área na direção (unidade: ). -
é a condutividade térmica do material (unidade: ). -
é a derivada da temperatura em relação à posição .
O sinal negativo aparece porque o calor flui no sentido de queda de temperatura (do quente para o frio). Se quisermos a potência térmica total que atravessa uma área, multiplicamos:
Aqui
tem unidade de
. No regime estacionário e unidimensional
é constante ao longo da direção do fluxo, o que nos permite integrar e obter relações simples.
Passo 3
Parede plana — derivação passo a passo. Geometria: espessura
, área de seção transversal constante
. Escolhemos eixo
perpendicular à parede, com
numa face (temperatura
) e
na outra face (temperatura
). Partimos de
Como
é constante em regime estacionário, separamos variáveis e integramos de
a
:
Executando as integrais obtemos
Rearranjando para
,
Agora a ideia da resistência térmica: definimos a resistência de condução da placa plana como
Assim a expressão fica na forma análoga à Lei de Ohm:
Interpretação prática: a resistência aumenta com a espessura
e diminui com condutividade
e área
. Em prova: identifique sempre
perpendicular ao fluxo.
Passo 4
Extensão prática para várias camadas planas (série e paralelo). Se houver várias camadas planas em série (mesma área
, espessuras
, condutividades
), cada camada tem resistência
e a resistência total é soma das resistências:
A potência é então
Se houver caminhos paralelos (por exemplo, diferentes áreas paralelas com condutividades distintas), trata-se como resistências em paralelo: somam-se as condutâncias
. Isso é útil em problemas de paredes com vigas metálicas e tijolo, por exemplo.
Passo 5
Parede cilíndrica — derivação passo a passo. Geometria: cilindro com eixo longitudinal, fluxo radial (do raio interno
para externo
), comprimento útil
. Área de transferência em uma superfície cilíndrica de raio
é
. A forma radial da lei de Fourier em regime estacionário (fluxo radial constante
) é
Separamos e integremos de
a
:
A integral logarítmica dá
Rearranjando para
,
Definimos a resistência térmica de um tubo cilíndrico (entre
e
) como
Novamente a forma análoga a Ohm:
Dica de prova: não tente usar área constante aqui — a área varia com
, daí o log. Para casca fina (
) pode aproximar
e recuperar a expressão plana com área média.
Passo 6
Parede esférica — derivação passo a passo. Geometria: casca esférica com fluxo radial; áreas esféricas variam como
. A forma radial da lei de Fourier para esfera em regime estacionário é
Separamos e integramos de
a
:
A integral de
dá
, portanto
Rearranjando para
,
A resistência térmica entre
e
é
Observação útil: para
(esfera isolada no infinito) a resistência tende a
. Em cascas finas pode também aproximar e recuperar comportamento “plano” com área média.
Passo 7
Rede de resistências e acoplamento à convecção. Explicando a analogia: a condutância térmica é o inverso da resistência térmica; tudo segue a mesma lógica de circuito elétrico:
Se existir convecção em uma superfície com coeficiente convectivo
, a resistência convectiva nessa superfície é
Num problema prático você normalmente monta em série: resistência convectiva externa
resistência de condução da parede
resistência convectiva interna. Exemplo de forma geral:
No caso cilíndrico/esférico, as áreas
em
devem ser avaliadas na superfície relevante (
para cilindro;
para esfera).
Passo 8
Resumo prático e dicas para prova (como um colega te guiando): identificar geometria primeiro (plana, cilíndrica, esférica). Lembrar que:
- Plana: área constante perpendicular ao fluxo → resistência
. - Cilíndrica: área
→ aparece . - Esférica: área
→ aparece .
Sempre verificar unidades:em , em , em . E respira fundo — monte a rede de resistências e aplique . Você consegue!