1-Formular la ley de conducción del calor para el caso de pared plana supuesta por el método de las resistencias y generalizar los resultados para otro tipo de pardes, alindricas y espíricas

Passo 1

O que o enunciado pede: formular a lei da condução de calor usando o método das resistências para uma parede plana e depois generalizar para paredes cilíndricas e esféricas.
Informações e condições dadas (implícitas no pedido): temperaturas conhecidas nas superfícies internas/externas T_1 e T_2, condutividade térmica do material k (assumimos constante), geometria (plana com área A e espessura L; cilíndrica com raios interno r_1 e externo r_2 e comprimento L; esférica com raios r_1 e r_2). Pressupostos padrão que usaremos: regime permanente (estado estacionário), condução unidimensional na direção relevante, propriedades homogêneas e isotrópicas e ausência de geração interna de calor.

Passo 2

Conceito básico: Lei de Fourier para condução. Vou explicar devagar e com carinho. A lei de Fourier diz que, localmente, a taxa de fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor) é proporcional ao gradiente de temperatura e ao coeficiente de condutividade. Em forma matemática a lei é:
\\ q_x = -k\,\frac{dT}{dx}
Aqui:
  • \\ q_x é o fluxo de calor por unidade de área na direção x (unidade: \mathrm{W/m^2}).
  • k é a condutividade térmica do material (unidade: \mathrm{W/(m\cdot K)}).
  • \\ dT/dx é a derivada da temperatura em relação à posição x.
    O sinal negativo aparece porque o calor flui no sentido de queda de temperatura (do quente para o frio). Se quisermos a potência térmica total que atravessa uma área A, multiplicamos:
\\ Q = -k\,A\,\frac{dT}{dx}
Aqui Q tem unidade de \mathrm{W}. No regime estacionário e unidimensional Q é constante ao longo da direção do fluxo, o que nos permite integrar e obter relações simples.

Passo 3

Parede plana — derivação passo a passo. Geometria: espessura L, área de seção transversal constante A. Escolhemos eixo x perpendicular à parede, com x=0 numa face (temperatura T_1) e x=L na outra face (temperatura T_2). Partimos de
Q = -k\,A\,\frac{dT}{dx}.
Como Q é constante em regime estacionário, separamos variáveis e integramos de x=0 a x=L:
\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{Q}{kA}\int_{0}^{L} dx.
Executando as integrais obtemos
T_2 - T_1 = -\frac{Q L}{kA}.
Rearranjando para Q,
Q = \frac{kA}{L}\,(T_1 - T_2).
Agora a ideia da resistência térmica: definimos a resistência de condução da placa plana como
R_{\text{cond}} = \frac{L}{kA}.
Assim a expressão fica na forma análoga à Lei de Ohm:
Q = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{cond}}}.
Interpretação prática: a resistência aumenta com a espessura L e diminui com condutividade k e área A. Em prova: identifique sempre A perpendicular ao fluxo.

Passo 4

Extensão prática para várias camadas planas (série e paralelo). Se houver várias camadas planas em série (mesma área A, espessuras L_i, condutividades k_i), cada camada tem resistência R_i = L_i/(k_i A) e a resistência total é soma das resistências:
R_{\text{total}} = \sum_i R_i = \sum_i \frac{L_i}{k_i A}.
A potência é então
Q = \frac{T_{\text{in}}-T_{\text{out}}}{R_{\text{total}}}.
Se houver caminhos paralelos (por exemplo, diferentes áreas paralelas com condutividades distintas), trata-se como resistências em paralelo: somam-se as condutâncias 1/R. Isso é útil em problemas de paredes com vigas metálicas e tijolo, por exemplo.

Passo 5

Parede cilíndrica — derivação passo a passo. Geometria: cilindro com eixo longitudinal, fluxo radial (do raio interno r_1 para externo r_2), comprimento útil L. Área de transferência em uma superfície cilíndrica de raio r é A(r)=2\pi r L. A forma radial da lei de Fourier em regime estacionário (fluxo radial constante Q) é
Q = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr} = -k\,(2\pi r L)\,\frac{dT}{dr}.
Separamos e integremos de r_1 a r_2:
\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{Q}{2\pi k L}\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r}.
A integral logarítmica dá
T_2 - T_1 = -\frac{Q}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Rearranjando para Q,
Q = \frac{2\pi k L}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}\,(T_1 - T_2).
Definimos a resistência térmica de um tubo cilíndrico (entre r_1 e r_2) como
R_{\text{cond,cyl}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
Novamente a forma análoga a Ohm:
Q = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{cond,cyl}}}.
Dica de prova: não tente usar área constante aqui — a área varia com r, daí o log. Para casca fina ( r_2-r_1 \ll r_1) pode aproximar \ln(r_2/r_1)\approx (r_2-r_1)/r_{\text{média}}é e recuperar a expressão plana com área média.

Passo 6

Parede esférica — derivação passo a passo. Geometria: casca esférica com fluxo radial; áreas esféricas variam como A(r)=4\pi r^2. A forma radial da lei de Fourier para esfera em regime estacionário é
Q = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr} = -k\,(4\pi r^2)\,\frac{dT}{dr}.
Separamos e integramos de r_1 a r_2:
\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{Q}{4\pi k}\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2}.
A integral de 1/r^2 -1/r, portanto
T_2 - T_1 = \frac{Q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right).
Rearranjando para Q,
Q = \frac{4\pi k}{\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)}\,(T_1 - T_2).
A resistência térmica entre r_1 e r_2 é
R_{\text{cond,sph}} = \frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).
Observação útil: para r_2\to\infty (esfera isolada no infinito) a resistência tende a R=1/(4\pi k r_1). Em cascas finas pode também aproximar e recuperar comportamento “plano” com área média.

Passo 7

Rede de resistências e acoplamento à convecção. Explicando a analogia: a condutância térmica é o inverso da resistência térmica; tudo segue a mesma lógica de circuito elétrico:
Q = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}.
Se existir convecção em uma superfície com coeficiente convectivo h, a resistência convectiva nessa superfície é
R_{\text{conv}} = \frac{1}{hA}.
Num problema prático você normalmente monta em série: resistência convectiva externa + resistência de condução da parede + resistência convectiva interna. Exemplo de forma geral:
R_{\text{total}} = R_{\text{conv,1}} + R_{\text{cond}} + R_{\text{conv,2}}.
No caso cilíndrico/esférico, as áreas A em R_{\text{conv}} = 1/(hA) devem ser avaliadas na superfície relevante ( A=2\pi r L para cilindro; A=4\pi r^2 para esfera).

Passo 8

Resumo prático e dicas para prova (como um colega te guiando): identificar geometria primeiro (plana, cilíndrica, esférica). Lembrar que:
  • Plana: área constante perpendicular ao fluxo → resistência L/(kA).
  • Cilíndrica: área \propto r → aparece \ln(r_2/r_1).
  • Esférica: área \propto r^2 → aparece (1/r_1 - 1/r_2).
    Sempre verificar unidades: k em \mathrm{W/(m\cdot K)}, L,r em \mathrm{m}, A em \mathrm{m^2}. E respira fundo — monte a rede de resistências e aplique Q=\Delta T/R. Você consegue!

Resposta

\text{Plana:}\quad Q = \frac{kA}{L}\,(T_1 - T_2),\qquad R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}
\text{Cilíndrica:}\quad Q = \frac{2\pi k L}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}\,(T_1 - T_2),\qquad R_{\text{cond,cyl}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}í
\text{Esférica:}\quad Q = \frac{4\pi k}{\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)}\,(T_1 - T_2),\qquad R_{\text{cond,sph}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)é

Exercícios relacionados