Defina:
c) Frequência de colisão.
c) Frequência de colisão.
Passo 1
O enunciado pede que eu defina “c) Frequência de colisão”. Não há outras informações no enunciado. Vou explicar claramente o que é essa grandeza, por que ela é útil, e apresentar as fórmulas mais usadas para gases de partículas idênticas (com derivação passo a passo e explicação de cada símbolo).
Passo 2
Definição conceitual simples e direta: a frequência de colisão é a quantidade média de colisões que uma partícula sofre por unidade de tempo. Em outras palavras, se eu acompanhar uma partícula típica do gás, a frequência de colisão me diz quantas vezes, em média, ela colide com outras partículas a cada segundo. É uma taxa — tem unidade de
.
Passo 3
Para entender como calcular essa taxa precisamos de duas ideias físicas básicas:
-
Densidade numérica:
é o número de partículas por unidade de volume. Unidade: . -
Se uma partícula “varre” (ou percorre) um volume onde qualquer outra partícula cujo centro esteja dentro de uma certa área efetiva causa colisão, então o número de alvos naquele volume é
vezes o volume varrido. Essa área efetiva chama‑se seção de choque (ou seção de colisão), medindo a área transversal eficaz para colisão. Para esferas duras de diâmetro temos
Passo 4
Derivação geométrica elementar (caso em que as outras partículas estivessem fixas): se uma partícula se move com velocidade
durante um intervalo
, ela varre um “cilindro” cujo volume aproximado é
. O número médio de alvos nesse volume é
. Dividindo por
obtemos a taxa
Isto corresponde ao número médio de colisões por unidade de tempo com alvos estacionários.
Passo 5
Agora o passo importante: em um gás real todas as partículas se movem. O que importa é a velocidade relativa entre duas partículas. Substituímos
pela velocidade relativa média entre duas partículas, que chamo de
. Para partículas idênticas em equilíbrio térmico (distribuição de Maxwell–Boltzmann) existe uma propriedade prática: a distribuição de velocidades relativas é também Maxwelliana com massa reduzida
, e a velocidade média relativa relaciona‑se com a velocidade média de uma partícula isolada
por
Aqui
(velocidade média de uma partícula) vale, para Maxwell–Boltzmann,
onde
é a constante de Boltzmann,
a temperatura e
a massa da partícula. A relação
pode ser vista lembrando que a massa reduzida para duas partículas idênticas é
, e substituindo em
.
Passo 6
Substituindo a velocidade relativa média na expressão do Passo 4 obtemos a frequência de colisão média por partícula no gás:
Usando a propriedade para partículas idênticas:
Se as partículas são esferas duras de diâmetro
, então
Nessas fórmulas:
-
é a frequência de colisão por partícula (em ); -
é a densidade numérica (em ); -
é a seção de choque (em ); -
é a velocidade média da distribuição de Maxwell (em ); -
é o diâmetro das partículas (em ).
Passo 7
Uma nota prática útil: a taxa total de colisões por unidade de volume (ou seja, número de colisões que ocorrem em todo o gás por segundo e por metro cúbico) é
O fator
aparece porque cada colisão envolve duas partículas e, sem esse fator, contaríamos cada colisão duas vezes.
Passo 8
Intuição e ordem de grandeza: usando números típicos do ar perto de
(
,
,
) obteríamos
da ordem de
a
. Isso significa que uma molécula colide bilhões de vezes por segundo — por isso os choques dominam o comportamento macroscópico do gás.
Resposta
Frequência de colisão: é a média do número de colisões sofridas por uma partícula por unidade de tempo. Para um gás de partículas idênticas em equilíbrio térmico pode‑se calcular por
onde
é a seção de choque e
(para Maxwell–Boltzmann); portanto, para esferas duras de diâmetro
,