Defina:
c) Frequência de colisão.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina “c) Frequência de colisão”. Não há outras informações no enunciado. Vou explicar claramente o que é essa grandeza, por que ela é útil, e apresentar as fórmulas mais usadas para gases de partículas idênticas (com derivação passo a passo e explicação de cada símbolo).

Passo 2

Definição conceitual simples e direta: a frequência de colisão é a quantidade média de colisões que uma partícula sofre por unidade de tempo. Em outras palavras, se eu acompanhar uma partícula típica do gás, a frequência de colisão me diz quantas vezes, em média, ela colide com outras partículas a cada segundo. É uma taxa — tem unidade de \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Para entender como calcular essa taxa precisamos de duas ideias físicas básicas:
  1. Densidade numérica: n é o número de partículas por unidade de volume. Unidade: \mathrm{m^{-3}}.
  2. Se uma partícula “varre” (ou percorre) um volume onde qualquer outra partícula cujo centro esteja dentro de uma certa área efetiva causa colisão, então o número de alvos naquele volume é n vezes o volume varrido. Essa área efetiva chama‑se seção de choque \sigma (ou seção de colisão), medindo a área transversal eficaz para colisão. Para esferas duras de diâmetro d temos
\sigma = \pi d^{2}.

Passo 4

Derivação geométrica elementar (caso em que as outras partículas estivessem fixas): se uma partícula se move com velocidade v durante um intervalo \Delta t, ela varre um “cilindro” cujo volume aproximado é \sigma v \Delta t. O número médio de alvos nesse volume é n \sigma v \Delta t. Dividindo por \Delta t obtemos a taxa
\text{(taxa se alvos fixos)} = n \sigma v.
Isto corresponde ao número médio de colisões por unidade de tempo com alvos estacionários.

Passo 5

Agora o passo importante: em um gás real todas as partículas se movem. O que importa é a velocidade relativa entre duas partículas. Substituímos v pela velocidade relativa média entre duas partículas, que chamo de \bar{v}_{\text{rel}}. Para partículas idênticas em equilíbrio térmico (distribuição de Maxwell–Boltzmann) existe uma propriedade prática: a distribuição de velocidades relativas é também Maxwelliana com massa reduzida \mu = m/2, e a velocidade média relativa relaciona‑se com a velocidade média de uma partícula isolada \bar{v} por
\bar{v}_{\text{rel}} = \sqrt{2}\,\bar{v}.
Aqui \bar{v} (velocidade média de uma partícula) vale, para Maxwell–Boltzmann,
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}},
onde k é a constante de Boltzmann, T a temperatura e m a massa da partícula. A relação \bar{v}_{\text{rel}}=\sqrt{2}\,\bar{v} pode ser vista lembrando que a massa reduzida para duas partículas idênticas é m/2, e substituindo em \bar{v}(\mu).

Passo 6

Substituindo a velocidade relativa média na expressão do Passo 4 obtemos a frequência de colisão média por partícula no gás:
Z = n\,\sigma\,\bar{v}_{\text{rel}}.
Usando a propriedade para partículas idênticas:
Z = n\,\sigma\,\sqrt{2}\,\bar{v}.
Se as partículas são esferas duras de diâmetro d, então
\sigma=\pi d^{2}\quad\Rightarrow\quad Z = \sqrt{2}\,n\,\pi d^{2}\,\bar{v}.
Nessas fórmulas:
  • Z é a frequência de colisão por partícula (em \mathrm{s^{-1}});
  • n é a densidade numérica (em \mathrm{m^{-3}});
  • \sigma é a seção de choque (em \mathrm{m^{2}});
  • \bar{v} é a velocidade média da distribuição de Maxwell (em \mathrm{m\,s^{-1}});
  • d é o diâmetro das partículas (em \mathrm{m}).

Passo 7

Uma nota prática útil: a taxa total de colisões por unidade de volume (ou seja, número de colisões que ocorrem em todo o gás por segundo e por metro cúbico) é
R = \tfrac{1}{2}\,n\,Z = \tfrac{1}{2}\,n^{2}\,\sigma\,\bar{v}_{\text{rel}}.
O fator 1/2 aparece porque cada colisão envolve duas partículas e, sem esse fator, contaríamos cada colisão duas vezes.

Passo 8

Intuição e ordem de grandeza: usando números típicos do ar perto de 300\\ \mathrm{K} ( n\sim 2{,}5\times 10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}, d\sim 3\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}, \bar v\sim 500\\ \mathrm{m/s} ) obteríamos Z da ordem de 10^{9} a 10^{10}\\ \mathrm{s^{-1}}. Isso significa que uma molécula colide bilhões de vezes por segundo — por isso os choques dominam o comportamento macroscópico do gás.

Resposta

Frequência de colisão: é a média do número de colisões sofridas por uma partícula por unidade de tempo. Para um gás de partículas idênticas em equilíbrio térmico pode‑se calcular por
Z = n\,\sigma\,\bar{v}_{\text{rel}},
onde \sigma é a seção de choque e \bar{v}_{\text{rel}}=\sqrt{2}\,\bar{v} (para Maxwell–Boltzmann); portanto, para esferas duras de diâmetro d,
Z = \sqrt{2}\,n\,\pi d^{2}\,\bar{v}.

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