Um tanque rígido de volume 0,5 \mathrm{~m}^{3} está conectado a um conjunto pistão cilindro por uma válvula. Ambos os recipientes contêm água pura. Eles estão imersos em um banho térmico a 200^{\circ} \mathrm{C} e 600 kPa . Inicialmente a válvula está fechada e os dois recipientes estão em equilíbrio térmico com o banho. O tanque rígido contém água saturada com título de 95 \%. O
conjunto pistão cilindro tem um volume inicial de 0,1 \mathrm{~m}^{3}. A válvula é aberta e a água flui para o pistão cilindro até que o equilíbrio seja atingido. Determine o trabalho realizado, a variação de energia interna e o calor transferido.

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá e as suposições necessárias para que o problema fique bem definido):
\text{Volume do tanque rígido: }V_t=0{,}5\\ \mathrm{m}^3.í
\text{Título (qualidade) no tanque: }x_1=0{,}95.í
\text{Volume inicial do pistão-cilindro: }V_{p1}=0{,}1\\ \mathrm{m}^3.ã
\text{Banho térmico a }200^\circ\mathrm{C}é e \;600\\ \mathrm{kPa} (essas duas grandezas foram informadas no enunciado).
Observação importante (assunção que vou usar — deixo explícito porque o enunciado mistura temperatura e pressão do banho): vou assumir que inicialmente ambos os recipientes estão em equilíbrio térmico com o banho a 200^\circ\mathrm{C}, ou seja, a temperatura inicial dos fluidos é T_1=200^\circ\mathrm{C}. Também assumirei que, quando a válvula é aberta, o pistão trabalha contra uma pressão externa constante de P_{ext}=600\\ \mathrm{kPa} (ou seja, o pistão pode se deslocar contra essa pressão constante). Essa interpretação é clássica em exercícios desse tipo: o banho fixa a temperatura e existe uma resistência externa constante ao movimento do pistão igual a 600\\ \mathrm{kPa}.
Além disso assumo que, inicialmente, o conteúdo do pistão está em equilíbrio com o banho a 200^\circ\mathrm{C} (ou seja, mesma temperatura) — o enunciado não diz a qualidade no pistão; para poder calcular massas, assumo que o fluido no pistão inicialmente é líquido saturado à temperatura do banho (ou seja, x_{piston,1}=0). Vou explicitar as propriedades numéricas que uso (tirei da tabela de vapor saturado/superaquecido para \mathrm{H_2O}):
Propriedades na saturação a 200^\circ\mathrm{C} (valores usados):
\;v_f(200^\circ\mathrm{C})=0{,}001157\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
\;v_g(200^\circ\mathrm{C})=0{,}12736\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
\;u_f(200^\circ\mathrm{C})=850{,}46\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
\;u_g(200^\circ\mathrm{C})=2584{,}70\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Propriedades no estado final (os dois recipientes irão atingir T_2=200^\circ\mathrm{C} e P_2=P_{ext}=600\\ \mathrm{kPa}). Nesse estado a água está superaquecida (porque, à pressão de 600\\ \mathrm{kPa}, a temperatura de saturação é menor que 200^\circ\mathrm{C}). Para estimar a propriedade específica final usei a aproximação do gás ideal para a volumetria superaquecida:
v_2 \approx \frac{R\,T_2}{P_2},
com R=0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)} e T_2=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K}. Isso dá v_2\approx0{,}364\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. Para a energia interna do vapor superaquecido à mesma temperatura eu vou usar o valor de u aproximado pela dependência principal com a temperatura, tomando u_2\approx u_g(200^\circ\mathrm{C})=2584{,}70\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} (em vapor superaquecido a mesma temperatura, u é muito próximo do u_g correspondente).
Resumo numérico que usarei:
\;V_t=0{,}5\\ \mathrm{m}^3,\;V_{p1}=0{,}1\\ \mathrm{m}^3,\;x_1=0{,}95,\;T=200^\circ\mathrm{C},\;P_{ext}=600\\ \mathrm{kPa}.
Propriedades: v_f=0{,}001157, v_g=0{,}12736 (m ^3/kg); u_f=850{,}46, u_g=2584{,}70 (kJ/kg).
A partir daqui vou calcular massas, energias, trabalho e calor. Não vou pedir mais dados — todas as suposições foram explicitadas.

Passo 2

Calcular as massas iniciais em cada compartimento (usar a definição de volume específico para mistura).
No tanque rígido (mistura saturada com título x_1):
v_{mix,1}=v_f + x_1\,(v_g-v_f).
Colocando números:
v_{mix,1}=0{,}001157 + 0{,}95\,(0{,}12736-0{,}001157)=0{,}12105\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
A massa no tanque é
m_t=\frac{V_t}{v_{mix,1}}=\frac{0{,}5}{0{,}12105}=4{,}1296\\ \mathrm{kg}.
No pistão-cilindro, assumi inicialmente líquido saturado ( x=0), logo o volume específico é v_f e
m_p=\frac{V_{p1}}{v_f}=\frac{0{,}1}{0{,}001157}=86{,}392\\ \mathrm{kg}.
Massa total do sistema (sistema fechado, massa conservada):
m_{tot}=m_t+m_p=4{,}1296+86{,}392=90{,}5216\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a energia interna inicial de cada compartimento (usar U=m\cdot u).
No tanque, o u da mistura é
u_{mix,1}=u_f + x_1\,(u_g-u_f).
Numericamente:
u_{mix,1}=850{,}46 + 0{,}95\,(2584{,}70-850{,}46)=2497{,}99\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Energia interna do tanque:
U_t = m_t\;u_{mix,1}=4{,}1296\cdot 2497{,}99=10\,315{,}5\\ \mathrm{kJ}.
No pistão (estado líquido saturado, u_p=u_f):
U_p = m_p\;u_f = 86{,}392\cdot 850{,}46=73\,431{,}4\\ \mathrm{kJ}.
Energia interna inicial total:
U_1 = U_t+U_p = 10\,315{,}5 + 73\,431{,}4 = 83\,746{,}9\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Determinar o estado final do sistema e o volume final do pistão.
Quando a válvula é aberta, o sistema atinge equilíbrio com o banho e com a resistência externa do pistão. Pelo enunciado / suposição, o estado final tem T_2=200^\circ\mathrm{C} e P_2=P_{ext}=600\\ \mathrm{kPa}. Nessa condição o fluido está na região de vapor superaquecido. O volume específico final do fluido pode ser aproximado por gás ideal:
v_2 \approx \frac{R\,T_2}{P_2} = \frac{0{,}4615\cdot 473{,}15}{600}=0{,}3638\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
(Esse cálculo foi mostrado no Passo 1.)
O volume total final ocupado pelo fluido vale
V_{tot,2}=m_{tot}\,v_2 = 90{,}5216\cdot 0{,}3638 = 32{,}949\\ \mathrm{m}^3.
Como o tanque é rígido com volume 0{,}5\\ \mathrm{m}^3, o volume final do pistão é
V_{p2}=V_{tot,2}-V_t=32{,}949 - 0{,}5 = 32{,}449\\ \mathrm{m}^3.
(A expansão do pistão é grande porque uma quantidade relativamente grande de vapor enxofre se forma ao aquecer/expansão para a condição superaquecida.)

Passo 5

Calcular o trabalho realizado pelo sistema (trabalho de fronteira due ao pistão).
Para um pistão que trabalha contra pressão externa constante,
W = \int_{V_{p1}}^{V_{p2}} P_{ext}\,dV = P_{ext}\,(V_{p2}-V_{p1}).
Substituindo os valores ( P_{ext}=600\\ \mathrm{kPa}, volumes em \mathrm{m}^3):
W = 600\\ \mathrm{kPa}\cdot(32{,}449-0{,}1)\\ \mathrm{m}^3 = 600\cdot 32{,}349\\ \mathrm{kJ} = 19\,409{,}4\\ \mathrm{kJ}.
(Usamos kPa·m ^3 = kJ.)

Passo 6

Calcular a variação de energia interna do sistema inteiro.
Para o estado final usei a aproximação u_2\approx u_g(200^\circ\mathrm{C})=2584{,}70\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} (em vapor superaquecido à mesma temperatura, u é muito próximo do valor de vapor saturado a essa temperatura). Então:
U_2 = m_{tot}\,u_2 = 90{,}5216\cdot 2584{,}70 = 234\,106{,}3\\ \mathrm{kJ}.
Variação de energia interna:
\Delta U = U_2 - U_1 = 234\,106{,}3 - 83\,746{,}0 = 150\,360{,}3\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Aplicar a primeira lei do sistema fechado (energia interna): \Delta U = Q - W. Reescrevendo para Q:
Q = \Delta U + W.
Substituindo valores:
Q = 150\,360{,}3 + 19\,409{,}4 = 169\,769{,}7\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: o calor fornecido pelo banho aqueceu e vaporizou a maior parte da massa, aumentando muito a energia interna, e parte da energia fornecida saiu como trabalho ao empurrar o pistão.

Resposta

W = 19\,409{,}4\\ \mathrm{kJ}\n
\Delta U = 150\,360{,}3\\ \mathrm{kJ}\n
Q = 169\,769{,}7\\ \mathrm{kJ}

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