Vapor entra em um bocal operando em regime estacionário a P_{1}=40 bar e T_{1}=400^{\circ} \mathrm{C} com velocidade V_{1}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O vapor sai a P_{2}=14 bar e V_{2}=665 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A vazão mássica é de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Determine a área de saída do bocal em m 2 .

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedido: determinar a área de saída do bocal (área A_2) em \mathrm{m}^2.
  • Dados fornecidos: \dot m = 2\\ \mathrm{kg/s},
P_{1} = 40\\ \text{bar},
T_{1} = 400^\circ\mathrm{C},
V_{1} = 10\\ \mathrm{m/s},
P_{2} = 14\\ \text{bar},
V_{2} = 665\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação: o enunciado fornece pressões, temperaturas e velocidades de entrada e saída; falta a temperatura de saída T_2 e a densidade \rho_2. Para obter A_2 precisamos da densidade na saída, que vamos calcular usando a equação de energia (conservação de energia para escoamento estacionário) e a hipótese de vapor tratado como gás ideal com calor específico aproximado constante.

Passo 2

Equação de massa que liga área, velocidade e densidade — explicação didática.
A conservação de massa (regime estacionário, fluxo unidimensional) diz que a vazão mássica é
\dot m = \rho A V.
Aqui:
  • \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
  • \rho é a densidade do fluido no ponto considerado ( \mathrm{kg/m^3}),
  • A é a área da seção ( \mathrm{m^2}),
  • V é a velocidade média do fluido nessa seção ( \mathrm{m/s}).
Para a saída do bocal:
A_2 = \frac{\dot m}{\rho_2 V_2}.
Portanto, para achar A_2 precisamos de \rho_2. Vamos calcular \rho_2 a partir de P_2 e T_2.

Passo 3

Como obter a temperatura de saída T_2 — equação de energia para bocal (nozzle).
Para um bocal adiabático em regime estacionário e desprezando variação de energia potencial, a equação de energia por unidade de massa é
h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica ( \mathrm{J/kg}) e V é a velocidade ( \mathrm{m/s}). Isso significa que aumento de energia cinética vem de queda de entalpia (ou vice-versa).
Para vapor tratado como gás ideal (superaquecido), a entalpia pode ser aproximada por
h = c_p T,
onde c_p é o calor específico a pressão constante (assumido aproximadamente constante na faixa de interesse) e T é a temperatura absoluta (K). Substituindo na equação de energia:
c_p T_1 + \frac{V_1^2}{2} = c_p T_2 + \frac{V_2^2}{2}.
Isolando T_2:
T_2 = T_1 + \frac{V_1^2 - V_2^2}{2 c_p}.
Explicação: a unidade de \frac{V^2}{2} é \mathrm{J/kg}, exatamente como h, então a subtração é consistente. Para usar essa fórmula precisamos escolher um valor razoável para c_p.

Passo 4

Escolha e justificativa de c_p e constantes físicas; conversões de unidades.
  • Para vapor d’água (vapor superaquecido) um valor típico aproximado de c_p na região em torno de algumas centenas de graus é c_p \approx 2{,}10\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Este valor é uma aproximação aceitável quando não temos tabelas detalhadas e o problema requer cálculo direto.
  • Constante dos gases para vapor d’água: R = 461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Converter temperaturas para Kelvin: T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Converter pressões para Pascal: 1\\ \text{bar} = 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Agora aplicamos numericamente.

Passo 5

Calcular T_2 numericamente passo a passo.
Converter T_1:
T_1 = 400^\circ\mathrm{C} = 400 + 273{,}15 = 673{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular o termo cinético:
\frac{V_1^2 - V_2^2}{2} = \frac{10^2 - 665^2}{2} = \frac{100 - 442\,225}{2} = \frac{-442\,125}{2} = -221\,062{,}5\\ \mathrm{J/kg}.
Aplicar a fórmula para T_2 com c_p = 2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
T_2 = 673{,}15 + \frac{-221\,062{,}5}{2100} = 673{,}15 - 105{,}2688 \approx 567{,}88\\ \mathrm{K}.
Se quiser em Celsius:
T_2 \approx 567{,}88 - 273{,}15 = 294{,}73^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: o grande aumento de velocidade (de 10 para 665\\ \mathrm{m/s}) reduz bastante a entalpia, o que resulta numa queda de temperatura de cerca de 105{,}3\\ \mathrm{K} neste cálculo aproximado.

Passo 6

Calcular a densidade \rho_2 usando lei dos gases ideais — explicação.
A equação de estado do gás ideal nos dá
\rho_2 = \frac{P_2}{R T_2},
onde:
  • P_2 em Pascal,
  • R = 461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • T_2 em Kelvin.
Converter P_2:
P_2 = 14\\ \text{bar} = 14 \times 10^5\\ \mathrm{Pa} = 1{,}4\times 10^6\\ \mathrm{Pa}.
Calcular:
\rho_2 = \frac{1{,}4\times 10^6}{461{,}5 \times 567{,}88} \approx \frac{1{,}4\times 10^6}{262\,077{,}2} \approx 5{,}342\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação: aqui usamos a aproximação de gás ideal; para vapor a altas pressões pode haver pequenas diferenças em relação a tabelas de vapor, mas este procedimento é o caminho padrão quando se trabalha sem tabelas.

Passo 7

Calcular a área de saída A_2.
Usando
A_2 = \frac{\dot m}{\rho_2 V_2},
substituímos \dot m = 2\\ \mathrm{kg/s}, \rho_2 \approx 5{,}342\\ \mathrm{kg/m^3}, V_2 = 665\\ \mathrm{m/s}:
Primeiro o produto \rho_2 V_2:
\rho_2 V_2 \approx 5{,}342 \times 665 \approx 3\,552{,}05\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}.
Então
A_2 = \frac{2}{3\,552{,}05} \approx 5{,}6296\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando para duas ou três algarismos significativos,
A_2 \approx 5{,}63\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação: isso corresponde a cerca de 0{,}000563\\ \mathrm{m^2}, ou aproximadamente 5{,}63\\ \mathrm{cm^2}.

Passo 8

Resumo das aproximações e incentivo.
  • Fizemos as seguintes aproximações: vapor tratado como gás ideal, \,h=c_p T com c_p constante e igual a 2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Essas aproximações são comuns quando não dispomos de tabelas de vapor super-aquecido. Se você tivesse acesso às tabelas, poderia calcular h_1 e, a partir da equação de energia, obter h_2 e, via tabela com P_2, achar T_2 e \rho_2 com maior precisão.
  • Mesmo com as aproximações, o procedimento e as equações usadas são os que você deve aplicar na prova: conservar massa, usar energia para achar temperatura quando velocidades mudam muito, e aplicar a equação de estado para obter densidade.
Vai dar certo — esse tipo de problema segue sempre esses passos, então decorando o processo e praticando você vai resolver rápido na prova!

Resposta

A_2 = 5{,}63\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}

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