Um cabo de alumínio de 10 m deve conduzir uma corrente de 5 A com uma queda de tensão máxima de 1 V . Qual o diâmetro mínimo do condutor? Considerando um fio de cobre, qual o diâmetro necessário?
Material
Condutividade
[\mathrm{S} / \mathrm{m}]
Prata 6,8 \times 10^{7}
Cobre 6,0 \times 10^{7}
Ouro 4,3 \times 10^{7}
Alumínio 3,8 \times 10^{7}
Bronze 1,6 \times 10^{7}
Ferro 1,0 \times 10^{7}
Platina 0,94 \times 10^{7}
\begin{aligned} & R=\frac{\rho l}{A}=\frac{l}{\sigma A} \text { e também } A=\pi \frac{d^{2}}{4} \\\ & A=\frac{l}{\sigma R} \Rightarrow \pi \frac{d^{2}}{4}=\frac{l}{\sigma R} \Rightarrow d=\sqrt{\frac{4 l}{\pi \sigma R}} \operatorname{com~} \mathrm{R}=\mathrm{V} / \mathrm{I} \end{aligned}é
Basta calcular considerando a condutividade do cobre e depois do alumínio.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro mínimo de um fio de comprimento \ell=10 m que transporte I=5 A com queda de tensão máxima \Delta V_{\max}=1 V. Aqui vamos usar a relação entre resistência, condutividade e área da seção:
R=\frac{\ell}{\sigma A},\quad A=\pi\frac{d^2}{4},
e como R=\Delta V/I chegamos à fórmula
\displaystyle d = \sqrt{\frac{4\,\ell}{\pi\,\sigma\,R}}.

Passo 2

Para alumínio temos \sigma_{\rm Al}=3{,}8\times10^{7} S/m. Primeiro,
R=\frac{\Delta V}{I}=\frac{1}{5}=0{,}2\\ \Omega.
Substituindo na fórmula:
d = \sqrt{\frac{4\cdot10}{\pi\,(3{,}8\times10^{7})\,(0{,}2)}} = \sqrt{\frac{40}{\pi\cdot7{,}6\times10^{6}}} \approx\sqrt{1{,}675\times10^{-6}} \approx1{,}29\times10^{-3}\text{ m} \approx1{,}29\text{ mm}.

Passo 3

Para cobre temos \sigma_{\rm Cu}=6{,}0\times10^{7} S/m. Mantendo R=0{,}2\\ \Omega:
d = \sqrt{\frac{4\cdot10}{\pi\,(6{,}0\times10^{7})\,(0{,}2)}} = \sqrt{\frac{40}{\pi\cdot1{,}2\times10^{7}}} \approx\sqrt{1{,}061\times10^{-6}} \approx1{,}03\times10^{-3}\text{ m} \approx1{,}03\text{ mm}.

Resposta

Alumínio: d_{\rm Al}\approx1{,}29 mm
Cobre: d_{\rm Cu}\approx1{,}03 mm

Exercícios relacionados