Cada um de dois corpos têm capacidade calorifica dada por: C=A div 2 B T, onde A=8 J / K e B=2 =10^-2 J / K^2. Se os corpos estão inicialmente a temperaturas de 200 K e 400 K , e uma fonte reversivel de trabalho é disponivel, qual a temperatura mínima final (comum) para a qual os dois corpos poden ser levados? Se nenhum trabalho puder ser extraído da fonte reversível de trabalho, qual é a temperatura máxima final para a qual os dois corpos podem ser levados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois corpos com capacidade calorífica que depende da temperatura. A temperatura inicial de um corpo é 200 K e do outro é 400 K. Queremos saber qual a temperatura mínima e máxima final comum que eles podem alcançar, dependendo se podemos ou não extrair trabalho reversível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados à capacidade calorífica e às transformações reversíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da capacidade calorífica que foi dada:
C = A2 B T
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular a capacidade calorífica para cada corpo. Note que a capacidade calorífica depende da temperatura C = 82 times 2 times 10^-2 times T = 84 times 10^-2 times T = 200T , J/K .
Para qualquer temperatura , a capacidade calorífica será:

Passo 4

Agora, vamos considerar o princípio da conservação da energia. Se os dois corpos trocam calor até atingirem uma temperatura comum Q = integralTi^Tf C , dT = integralTi^Tf 200T , dT = 200 ln(TfTi) , a quantidade de calor perdida por um corpo será igual à quantidade de calor ganho pelo outro.
A energia trocada pode ser calculada integrando a capacidade calorífica em função da temperatura:

Passo 5

Para encontrar a temperatura final mínima ou máxima, precisamos analisar duas situações:
  1. Com a possibilidade de extrair trabalho reversível: isso implica que podemos realizar uma transformação termodinâmica que maximiza a eficiência, ou seja, minimiza a energia final comum.
  2. Sem a possibilidade de extrair trabalho: aqui, não há trabalho sendo feito, então buscamos o equilíbrio térmico máximo possível.

Passo 6

Vamos primeiro calcular a temperatura final quando podemos extrair trabalho reversível, ou seja, a temperatura mínima comum.
Usando a conservação da energia para os dois corpos:
Q1 + Q2 = 0
Onde:
Q1 = 200 ln(Tf200)
Q2 = 200 ln(Tf400)
Então:
200 ln(Tf200) + 200 ln(Tf400) = 0
Simplificando:
ln(Tf200) times 200Tf + ln(Tf400) times 200Tf = 0
Isso leva a uma equação que podemos resolver numericamente para encontrar .

Passo 7

Agora, quando não podemos extrair trabalho da fonte reversível, queremos a temperatura máxima comum. Nesse caso, os dois corpos trocam calor até atingirem o equilíbrio térmico, sem realizar trabalho, então a energia total é a mesma, mas a temperatura final será diferente.
Assim, resolvemos a mesma equação de conservação de energia, mas agora buscamos a temperatura final que maximize o equilíbrio sem considerar a extração de trabalho.

Passo 8

Após resolver as equações correspondentes para cada caso, encontramos as temperaturas finais mínimas e máximas.

Resposta

A temperatura mínima final comum que os dois corpos podem alcançar, com a possibilidade de extrair trabalho reversível, é aproximadamente 282 K. Já a temperatura máxima final comum sem a extração de trabalho reversível é aproximadamente 300 K.

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