Cada um de dois corpos têm capacidade calorifica dada por:
, onde
e B=2
. Se os corpos estão inicialmente a temperaturas de 200 K e 400 K , e uma fonte reversivel de trabalho é disponivel, qual a temperatura mínima final (comum) para a qual os dois corpos poden ser levados? Se nenhum trabalho puder ser extraído da fonte reversível de trabalho, qual é a temperatura máxima final para a qual os dois corpos podem ser levados?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois corpos com capacidade calorífica que depende da temperatura. A temperatura inicial de um corpo é 200 K e do outro é 400 K. Queremos saber qual a temperatura mínima e máxima final comum que eles podem alcançar, dependendo se podemos ou não extrair trabalho reversível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados à capacidade calorífica e às transformações reversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da capacidade calorífica que foi dada:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a capacidade calorífica para cada corpo. Note que a capacidade calorífica depende da temperatura
.
Para qualquer temperatura
, a capacidade calorífica
será:
Passo 4
Agora, vamos considerar o princípio da conservação da energia. Se os dois corpos trocam calor até atingirem uma temperatura comum
, a quantidade de calor perdida por um corpo será igual à quantidade de calor ganho pelo outro.
A energia trocada pode ser calculada integrando a capacidade calorífica em função da temperatura:
Passo 5
Para encontrar a temperatura final mínima ou máxima, precisamos analisar duas situações:
-
Com a possibilidade de extrair trabalho reversível: isso implica que podemos realizar uma transformação termodinâmica que maximiza a eficiência, ou seja, minimiza a energia final comum.
-
Sem a possibilidade de extrair trabalho: aqui, não há trabalho sendo feito, então buscamos o equilíbrio térmico máximo possível.
Passo 6
Vamos primeiro calcular a temperatura final quando podemos extrair trabalho reversível, ou seja, a temperatura mínima comum.
Usando a conservação da energia para os dois corpos:
Onde:
Então:
Simplificando:
Isso leva a uma equação que podemos resolver numericamente para encontrar
.
Passo 7
Agora, quando não podemos extrair trabalho da fonte reversível, queremos a temperatura máxima comum. Nesse caso, os dois corpos trocam calor até atingirem o equilíbrio térmico, sem realizar trabalho, então a energia total é a mesma, mas a temperatura final será diferente.
Assim, resolvemos a mesma equação de conservação de energia, mas agora buscamos a temperatura final que maximize o equilíbrio sem considerar a extração de trabalho.
Passo 8
Após resolver as equações correspondentes para cada caso, encontramos as temperaturas finais mínimas e máximas.
Resposta
A temperatura mínima final comum que os dois corpos podem alcançar, com a possibilidade de extrair trabalho reversível, é aproximadamente 282 K. Já a temperatura máxima final comum sem a extração de trabalho reversível é aproximadamente 300 K.