(a) Um mol de um gás ideal para o qual Cv=25 J cdot mol^-1 cdot K^-1 expande-se adiabaticamente de um estado inicial a 340 K e 2 atm , para um estado final com volume duas vezes o inicial. Determine a temperatura final do gás, o trabalho realizado e a variação da entropia do gás para:
(a) uma expansão reversivel

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos analisar o enunciado: temos um mol de um gás ideal com capacidade calorífica a volume constante Cv = 25 , J cdot mol^-1 cdot K^-1. Esse gás se expande adiabaticamente de um estado inicial com temperatura T1 = 340 , K e pressão P1 = 2 , atm para um estado final onde o volume é o dobro do inicial ( V2 = 2V1). Precisamos determinar:
  1. A temperatura final T2 do gás.
  2. O trabalho realizado W durante a expansão.
  3. A variação da entropia De do gás.
Para resolver, vamos utilizar conceitos de termodinâmica relacionados a processos adiabáticos reversíveis, como a relação entre temperatura e volume, e fórmulas para cálculo de trabalho e entropia.

Passo 2

Determinar o Fator Adiabático ( gamma)
O fator adiabático, denotado por gamma, é a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante ( Cp) e a capacidade calorífica a volume constante ( Cv):
gamma = CpCv
Sabemos que:
Cp = Cv + R
Onde R = 8,314 , J cdot mol^-1 cdot K^-1 é a constante dos gases.
Calculando Cp:
Cp = 25 , J/mol cdot K + 8,314 , J/mol cdot K = 33,314 , J/mol cdot K
Agora, calculamos gamma:
gamma = 33,31425 approx 1,33256

Passo 3

Relacionar as Temperaturas e Volumes Inicial e Final
Em um processo adiabático reversível, a seguinte relação é válida:
T1 cdot V1^gamma - 1 = T2 cdot V2^gamma - 1
Sabemos que V2 = 2 V1, então substituindo na equação:
340 cdot V1^0,33256 = T2 cdot (2 V1)^0,33256
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por V1^0,33256:
340 = T2 cdot 2^0,33256

Passo 4

Calcular a Temperatura Final ( T2)
Resolvendo a equação para T2:
T2 = 3402^0,33256
Calculando 2^0,33256:
2^0,33256 approx 1,26
Então:
T2 approx 3401,26 approx 269,84 , K

Passo 5

Calcular o Trabalho Realizado ( W)
Em um processo adiabático reversível, o trabalho realizado pode ser calculado pela fórmula:
W = Cv (T1 - T2)
Substituindo os valores:
W = 25 , J/mol cdot K times (340 , K - 269,84 , K)
W = 25 times 70,16 = 1754 , J

Passo 6

Calcular a Variação da Entropia ( De)
Em um processo adiabático reversível, não há troca de calor com o ambiente ( Q = 0). A variação da entropia é dada por:
De
Como Q = 0, temos:
De

Resposta

A temperatura final do gás é aproximadamente 269,84 , K, o trabalho realizado durante a expansão é 1754 , J e a variação da entropia do gás é nula ( De).

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