Um mol de gás hélio tem Cv=1,5 R (independente da temperatura) e se expande reversivelmente de 24,6 L e 300 K até 49,2 L. Calcule a pressão e temperatura finais se a expansão se procede: (a) isotermicamente; (b) adiabaticamente; © represente essas duas transformações em um mesmo diagrama P versus V .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um mol de gás hélio com capacidade calorífica a volume constante Cv = 1,5 R. Esse gás está passando por uma expansão reversível, indo de um volume inicial de 24,6 L e temperatura inicial de 300 K para um volume final de 49,2 L. Precisamos calcular a pressão e a temperatura finais para dois tipos de expansão: (a) isotérmica e (b) adiabática. Além disso, devemos representar essas transformações em um diagrama de pressão versus volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas fórmulas importantes:
  1. Lei dos Gases Ideais: PV = nRT
  2. Processo Isotérmico: Temperatura constante, então P1 V1 = P2 V2
  3. Processo Adiabático: Sem troca de calor, a relação é PV^gamma = constante, onde gamma = CpCv
Para o hélio, que é um gás monatomic, sabemos que Cp = Cv + R, então gamma = CpCv = 1,5R + R1,5R = 2,5R1,5R = 53.

Passo 3

(a) Expansão Isotérmica

Como o processo é isotérmico, a temperatura final T2 será igual à temperatura inicial T1 = 300 K.
Primeiro, vamos calcular a pressão inicial usando a Lei dos Gases Ideais:
P1 = nRT1V1
Onde:
  • n = 1 mol
  • R = 0,0821 L cdot atmmol cdot K (vamos usar essa unidade para pressão)
  • T1 = 300 K
  • V1 = 24,6 L
Substituindo:
P1 = 1 times 0,0821 times 30024,6 approx 24,6324,6 approx 1 atm
Agora, usamos a relação isotérmica P1 V1 = P2 V2 para encontrar P2:
P2 = P1 V1V2 = 1 times 24,649,2 = 24,649,2 approx 0,5 atm
Então, na expansão isotérmica:
  • Pressão final P2: 0,5 atm
  • Temperatura final T2: 300 K

Passo 4

(b) Expansão Adiabática

Neste caso, não há troca de calor ( Q = 0), então usamos a relação adiabática:
PV^gamma = constante
E também podemos relacionar temperaturas e volumes pela fórmula:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1
Onde gamma = 53, T1 = 300 K, V1 = 24,6 L e V2 = 49,2 L.
Calculando T2:
T2 = 300 ( 24,649,2 )^53 - 1 = 300 ( 24,649,2 )^23
Primeiro, calculamos a razão dos volumes:
24,649,2 = 0,5
Então:
T2 = 300 times (0,5)^23 approx 300 times 0,63 approx 189 K
Agora, para encontrar P2, usamos a relação adiabática P1 V1^gamma = P2 V2^gamma:
P2 = P1 ( V1V2 )^gamma = 1 times (0,5)^53 approx 1 times 0,315 approx 0,315 atm
Então, na expansão adiabática:
  • Pressão final P2: 0,315 atm
  • Temperatura final T2: 189 K

Passo 5

© Representação no Diagrama P versus V

No diagrama de pressão versus volume ( P vs V), vamos plotar as duas transformações:
  1. Isotérmica: Será uma curva hiperbólica descendente, já que a pressão diminui à medida que o volume aumenta mantendo a temperatura constante.
  2. Adiabática: Também é uma curva hiperbólica descendente, mas mais inclinada que a isotérmica, indicando que a pressão diminui mais rapidamente com o aumento do volume quando o processo é adiabático.
Ambas as curvas começam no ponto inicial (V1 = 24,6 L, P1 = 1 atm) e terminam no ponto final (V2 = 49,2 L, P2 approx 0,315 atm). A curva isotérmica passará pelo ponto com P2 = 0,5 atm em V2 = 49,2 L, enquanto a adiabática segue até 0,315 atm.

Resposta

  • Expansão Isotérmica: Pressão final P2 = 0,5 atm e Temperatura final T2 = 300 K.
  • Expansão Adiabática: Pressão final P2 approx 0,315 atm e Temperatura final T2 approx 189 K.

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