Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente.
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência
e pede: escrever a equação diferencial no domínio do tempo correspondente a essa relação entre entrada e saída.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é a relação entre a transformada de Laplace da saída (denotada por ) e a transformada de Laplace da entrada (denotada por ). - O numerador é
e o denominador é . - Não foram fornecidas condições iniciais (por convenção de função de transferência assumem-se condições iniciais nulas).
Passo 2
Vamos identificar variáveis e conceitos básicos (devagar e sem medo):
-
é a saída no tempo e é sua transformada de Laplace. -
é a entrada no tempo e é sua transformada de Laplace. -
é a variável complexa da transformada de Laplace. - A função de transferência
é definida normalmente assumindo condições iniciais nulas; ela relaciona a resposta em frequência/complexo entre saída e entrada.
Passo 3
Passo algébrico simples: multiplicar ambos os lados por
e pelo denominador para escrever uma igualdade no domínio
:
Passo 4
Agora vamos relacionar termos em
com derivadas no tempo usando propriedades da transformada de Laplace (a explicação completa, para não tropeçar na prova):
- Para uma função
com transformada vale
Essas fórmulas mostram que multiplicar por
no domínio de Laplace equivale a derivar no tempo, mas aparecem termos adicionais com as condições iniciais. Como estamos trabalhando com função de transferência (que pressupõe condições iniciais nulas), esses termos extras desaparecem:
e
.
Passo 5
Tomando a transformada inversa de Laplace da igualdade do Passo 3 sob a hipótese de condições iniciais nulas, cada potência de
corresponde a uma derivada:
-
corresponde a , -
corresponde a , -
corresponde a ,
ecorresponde a .
Portanto, a igualdade em
transforma-se no domínio do tempo em
assumindo condições iniciais nulas (condição padrão ao usar função de transferência).