Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente.
\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{7}{s^{2}+5 s+10}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{7}{s^{2}+5s+10}
e pede: escrever a equação diferencial no domínio do tempo correspondente a essa relação entre entrada e saída.
Informações relevantes dadas:
  • \dfrac{X(s)}{F(s)} é a relação entre a transformada de Laplace da saída x(t) (denotada por X(s)) e a transformada de Laplace da entrada f(t) (denotada por F(s)).
  • O numerador é 7 e o denominador é s^{2}+5s+10.
  • Não foram fornecidas condições iniciais (por convenção de função de transferência assumem-se condições iniciais nulas).

Passo 2

Vamos identificar variáveis e conceitos básicos (devagar e sem medo):
  • x(t) é a saída no tempo e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} é sua transformada de Laplace.
  • f(t) é a entrada no tempo e F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} é sua transformada de Laplace.
  • s é a variável complexa da transformada de Laplace.
  • A função de transferência G(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)} é definida normalmente assumindo condições iniciais nulas; ela relaciona a resposta em frequência/complexo entre saída e entrada.

Passo 3

Passo algébrico simples: multiplicar ambos os lados por F(s) e pelo denominador para escrever uma igualdade no domínio s:
(s^{2}+5s+10)\,X(s)=7\,F(s).

Passo 4

Agora vamos relacionar termos em s com derivadas no tempo usando propriedades da transformada de Laplace (a explicação completa, para não tropeçar na prova):
  • Para uma função x(t) com transformada X(s) vale
\mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0),
\mathcal{L}\{x''(t)\}=s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0).
Essas fórmulas mostram que multiplicar por s no domínio de Laplace equivale a derivar no tempo, mas aparecem termos adicionais com as condições iniciais. Como estamos trabalhando com função de transferência (que pressupõe condições iniciais nulas), esses termos extras desaparecem: x(0)=0 e x'(0)=0.

Passo 5

Tomando a transformada inversa de Laplace da igualdade do Passo 3 sob a hipótese de condições iniciais nulas, cada potência de s corresponde a uma derivada:
  • s^{2}X(s) corresponde a \mathcal{L}\{x''(t)\},
  • sX(s) corresponde a \mathcal{L}\{x'(t)\},
  • X(s) corresponde a \mathcal{L}\{x(t)\},
    e F(s) corresponde a \mathcal{L}\{f(t)\}.
Portanto, a igualdade em s
(s^{2}+5s+10)\,X(s)=7\,F(s)
transforma-se no domínio do tempo em
x''(t)+5x'(t)+10x(t)=7f(t),
assumindo condições iniciais nulas (condição padrão ao usar função de transferência).

Resposta

x''(t)+5x'(t)+10x(t)=7f(t)

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