Para cada item: calcule D(\mathbf{k m o l} / \mathbf{h}), B(\mathbf{k m o l} / \mathbf{h}) e N_{\text {min }} (pratos teóricos, refluxo total). Apresente resultados com 3-4 casas decimais.
F=140 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}, z_{F}=0,65, x_{D}=0,92, x_{B}= 0,10, \alpha_{\text {avg }}=1,5.

Passo 1

O enunciado pede, para cada item, calcular três quantidades:
  • D (vazão do destilado, em \mathrm{kmol/h});
  • B (vazão do fundo, em \mathrm{kmol/h});
  • N_{\min} (número mínimo de pratos teóricos para refluxo total, ou seja, a solução de Fenske).
As informações fornecidas são (pegas do enunciado):
  • \;F=140\\ \mathrm{kmol/h};
  • \;z_F=0{,}65 (fração molar do componente mais volátil na alimentação);
  • \;x_D=0{,}92 (fração molar do componente mais volátil no destilado);
  • \;x_B=0{,}10 (fração molar do componente mais volátil no fundo);
  • \;\alpha_{\text{avg}}=1{,}5 (volatilidade relativa média, constante).
O que será calculado:
  1. D e B a partir dos balanços de matéria total e de componente (componente mais volátil).
  2. N_{\min} usando a equação de Fenske (válida para refluxo total / separação binária com volatilidade média constante).

Passo 2

Balanços necessários e fórmula para D.
Explicação didática dos balanços:
  • Balanço total de vazões diz que a vazão de alimentação se distribui em destilado e fundo:
F = D + B.
Aqui cada termo é uma vazão total (em \mathrm{kmol/h}).
  • Balanço do componente mais volátil (chamemos de componente A) diz que a quantidade de A que entra na alimentação sai no destilado e no fundo:
F z_F = D x_D + B x_B.
Neste equacionamento, z_F, x_D, x_B são frações molares do componente A na alimentação, destilado e fundo respectivamente.
Agora resolvemos algebricamente para D. Eliminando B usando B=F-D na equação do componente:
F z_F = D x_D + (F-D) x_B = D x_D + F x_B - D x_B.
Reagrupando os termos em D:
F z_F - F x_B = D(x_D - x_B).
Logo:
D = \frac{F(z_F - x_B)}{x_D - x_B}.

Passo 3

Cálculo numérico de D e B passo a passo (sem pular contas).
Substituindo os valores fornecidos na expressão de D:
D = \frac{140\bigl(0{,}65 - 0{,}10\bigr)}{0{,}92 - 0{,}10}.
Calculemos os termos:
0{,}65 - 0{,}10 = 0{,}55, \qquad 0{,}92 - 0{,}10 = 0{,}82.
Portanto
D = \frac{140\cdot 0{,}55}{0{,}82}.
Primeiro 140\cdot0{,}55 = 77{,}0. Então
D = \frac{77{,}0}{0{,}82} = 93{,}90243902\ldots
Arredondando conforme pedido (3–4 casas decimais), tomaremos 4 casas:
D \approx 93{,}9024\\ \mathrm{kmol/h}.
Agora B pela diferença:
B = F - D = 140 - 93{,}90243902\ldots = 46{,}09756098\ldots
Arredondando para 4 casas:
B \approx 46{,}0976\\ \mathrm{kmol/h}.
Breve comentário: se preferir 3 casas decimais seria D\approx93{,}902 e B\approx46{,}098, mas mantivemos 4 casas como solicitado.

Passo 4

Explicação da fórmula para N_{\min} (equação de Fenske) e significado físico.
Intuição: no refluxo total não há retirada de destilado (teoricamente o refluxo é infinito), o que corresponde à condição que minimiza o número de pratos teóricos necessários para obter a especificação de pureza desejada. Para uma mistura binária com volatilidade relativa constante \alpha_{\text{avg}}, a equação de Fenske dá o número mínimo de estágios teóricos (incluindo o prato de fundo/reboiler, conforme convenção):
N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln \alpha_{\text{avg}}}.
Explanação dos termos:
  • \;x_D/(1-x_D) é a razão molar do componente mais volátil sobre o menos volátil no destilado;
  • \;x_B/(1-x_B) é a razão molar do componente mais volátil sobre o menos volátil no fundo;
  • \alpha_{\text{avg}} é a volatilidade relativa média (assumida constante ao longo da coluna);
  • \ln é o logaritmo natural.

Passo 5

Cálculo do N_{\min} passo a passo.
Primeiro calcule as razões molares:
\frac{x_D}{1-x_D}=\frac{0{,}92}{1-0{,}92}=\frac{0{,}92}{0{,}08}=11{,}5.
\frac{x_B}{1-x_B}=\frac{0{,}10}{1-0{,}10}=\frac{0{,}10}{0{,}90}=0{,}111111\ldots = \frac{1}{9}.
A razão entre essas duas quantias é
\frac{ \dfrac{x_D}{1-x_D} }{ \dfrac{x_B}{1-x_B} } = \frac{11{,}5}{1/9} = 11{,}5\cdot 9 = 103{,}5.
Aplicando a fórmula de Fenske:
N_{\min} = \frac{\ln(103{,}5)}{\ln(1{,}5)}.
Agora calculemos os logaritmos:
\ln(103{,}5) \approx 4{,}639564786, \qquad \ln(1{,}5) \approx 0{,}4054651081.
Dividindo:
N_{\min} \approx \frac{4{,}639564786}{0{,}4054651081} \approx 11{,}4425748\ldots
Arredondando para 4 casas decimais:
N_{\min} \approx 11{,}4426\\ \text{(pratos teóricos, refluxo total)}.ó
Interpretação curta: esse N_{\min} é o número mínimo de estágios teóricos (incluindo reboiler conforme convenção da equação de Fenske) necessário para obter \;x_D=0{,}92 a partir de alimentação com \;z_F=0{,}65 e fundo \;x_B=0{,}10, assumindo \alpha_{\text{avg}}=1{,}5 e refluxo total.

Resposta

D = 93{,}9024\\ \mathrm{kmol/h}
B = 46{,}0976\\ \mathrm{kmol/h}
N_{\min} = 11{,}4426

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