Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que S é extensiva. Determine as equações de estado para cada caso. Ache a relação fundamental na representação da energia.
S=A(U V N)^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado fornece a relação fundamental de entropia
S = A\,(U V N)^{1/3},
onde A é uma constante (assumir A>0 para entropia positiva) e as variáveis U, V, N são as variáveis extensivas energia interna, volume e número de partículas.
O que se pede:
  • Mostrar que S é extensiva (isto é, que é homogênea de grau 1 nas variáveis extensivas).
  • Determinar as equações de estado (ou seja, expressões para T, P e \mu).
  • Encontrar a relação fundamental na representação da energia U(S,V,N).

Passo 2

O que significa “extensiva” e como verificar na prática.
Uma função f(x_1,x_2,\dots) é extensiva se, ao multiplicar todas as suas variáveis extensivas por um mesmo fator \lambda, o valor da função é multiplicado por \lambda. Em notação:
f(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots)=\lambda f(x_1,x_2,\dots).
Aqui temos S(U,V,N)=A(UVN)^{1/3}. Vamos aplicar a escala (U,V,N)\mapsto(\lambda U,\lambda V,\lambda N) e ver o que acontece com S.

Passo 3

Aplicando a escala homogênea:
S(\lambda U,\lambda V,\lambda N) = A\big((\lambda U)(\lambda V)(\lambda N)\big)^{1/3} = A\big(\lambda^3 U V N\big)^{1/3}.
Usando \big(\lambda^3\big)^{1/3}=\lambda segue
S(\lambda U,\lambda V,\lambda N)=\lambda\,A(UVN)^{1/3}=\lambda S(U,V,N).
Portanto S é homogênea de grau 1, isto é, S é extensiva. (Conclusão pedida: S é extensiva.)

Passo 4

Agora vamos obter as equações de estado a partir da representação entropia S(U,V,N).
Na termodinâmica, a diferencial total da entropia é
\mathrm{d}S=\frac{1}{T}\,\mathrm{d}U+\frac{P}{T}\,\mathrm{d}V-\frac{\mu}{T}\,\mathrm{d}N,
logo as derivadas parciais são
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N},\qquad \frac{P}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N},\qquad -\frac{\mu}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}.
Vamos calcular essas derivadas para S=A U^{1/3}V^{1/3}N^{1/3}.

Passo 5

Cálculo da derivada parcial em relação a U. Usando regra da potência:
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} = A\cdot\frac{1}{3}U^{-2/3}V^{1/3}N^{1/3}.
É conveniente escrever isso em termos de S mesmo. Como S=A U^{1/3}V^{1/3}N^{1/3}, divide-se por U e multiplica por 1/3:
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{3}\,\frac{S}{U}.
Pelo vínculo termodinâmico, isso dá
\frac{1}{T}=\frac{1}{3}\,\frac{S}{U} \quad\Rightarrow\quad T=\frac{3U}{S}.
Comentário didático: essa relação mostra que a temperatura é proporcional à razão U/S; é uma forma simples devido à forma multiplicativa da entropia dada.

Passo 6

Cálculo da derivada parcial em relação a V:
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N} = A\cdot\frac{1}{3}U^{1/3}V^{-2/3}N^{1/3} =\frac{1}{3}\,\frac{S}{V}.
Como \dfrac{P}{T}=(\partial S/\partial V)_{U,N}, temos
\frac{P}{T}=\frac{1}{3}\,\frac{S}{V}.
Substituindo T=\dfrac{3U}{S} obtém-se
P = T\cdot\frac{1}{3}\,\frac{S}{V} = \frac{3U}{S}\cdot\frac{1}{3}\,\frac{S}{V} = \frac{U}{V}.
Interpretação: a pressão resulta numa forma muito simples P=U/V para essa relação fundamental.

Passo 7

Cálculo da derivada parcial em relação a N:
\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V} = A\cdot\frac{1}{3}U^{1/3}V^{1/3}N^{-2/3} =\frac{1}{3}\,\frac{S}{N}.
Como -\dfrac{\mu}{T}=(\partial S/\partial N)_{U,V}, obtemos
-\frac{\mu}{T}=\frac{1}{3}\,\frac{S}{N} \quad\Rightarrow\quad \mu = -T\cdot\frac{1}{3}\,\frac{S}{N}.
Usando T=\dfrac{3U}{S} vem
\mu = -\frac{3U}{S}\cdot\frac{1}{3}\,\frac{S}{N} = -\frac{U}{N}.
Portanto a energia química é \mu=-U/N.

Passo 8

Verificação da consistência (Euler). Para uma função extensiva S vale o teorema de Euler:
S= \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)U + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)V + \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)N.
Substituindo as derivadas \tfrac{1}{3}S/U,\tfrac{1}{3}S/V,\tfrac{1}{3}S/N obtém-se S=(1/3)S+(1/3)S+(1/3)S=S, o que confirma a extensividade de forma alternativa. Em termos das quantidades termodinâmicas, multiplicando a expressão diferencial por T chega-se à relação de Euler energética:
T S = U + P V - \mu N,
e com T,P,\mu encontrados essa identidade é satisfeita (verificação rápida: T S=3U e U+PV-\mu N=U+U+U=3U).

Passo 9

Encontrar a relação fundamental na representação energia U(S,V,N). Inverter a expressão inicial:
S = A(U V N)^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad (U V N)^{1/3}=\frac{S}{A} \quad\Longrightarrow\quad U V N=\left(\frac{S}{A}\right)^3.
Isolando U,
U=\frac{S^3}{A^3\,V\,N}.
Esta é a relação fundamental na representação da energia: U(S,V,N)=\dfrac{S^3}{A^3 V N}.

Passo 10

Confirmação das equações de estado a partir de U(S,V,N). A diferencial termodinâmica é
\mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - P\,\mathrm{d}V + \mu\,\mathrm{d}N,
portanto
T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N},\qquad P=-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N},\qquad \mu=\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}.
Calculando a partir de U=\dfrac{S^3}{A^3 V N}:
\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}=\frac{3S^2}{A^3 V N}=\frac{3U}{S}=T,
-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -\left(-\frac{S^3}{A^3 V^2 N}\right)=\frac{S^3}{A^3 V^2 N}=\frac{U}{V}=P,
\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} = -\frac{S^3}{A^3 V N^2}=-\frac{U}{N}=\mu.
Essas expressões coincidem com as encontradas antes, confirmando consistência.

Resposta

S é extensiva.\n
T=\dfrac{3U}{S}.\n
P=\dfrac{U}{V}.\n
\mu=-\dfrac{U}{N}.\n
U(S,V,N)=\dfrac{S^{3}}{A^{3}V N}.

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