Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que U é extensiva. Determine as equações de estado para cada caso.
U=c\left(S^{1} / V\right)^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado dá a relação fundamental (interpreto S^{1} como S):
U = c\left(\frac{S}{V}\right)^{1/3}.
Pede-se:
  • mostrar que U é extensiva;
  • determinar as equações de estado (isto é, expressões para a temperatura T, pressão p e, se necessário, potencial químico \mu).
Informações relevantes dadas:
  • A função depende de S e V e contém a constante c.
  • Não foi explicitado N (número de partículas), mas em termodinâmica U costuma ser função de S,V,N. Se c for uma constante estritamente numérica (independente de N), a homogeneidade pode falhar — vamos analisar isso com cuidado.

Passo 2

Conceitos e método que vamos usar (explicados devagar):
  • Uma grandeza é extensa quando, ao duplicar todos os parâmetros extensivos do sistema (por exemplo S,V,N), a grandeza também duplica. Em termos formais: U é extensiva se, para todo \lambda>0,
U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)=\lambda\,U(S,V,N).
  • Uma função que satisfaz f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda^k f(x,y,z) é homogênea de grau k. Extensividade equivale a homogeneidade de grau 1.
  • As equações de estado a partir da função fundamental U(S,V,N) são dadas por derivadas parciais:
T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N},\qquad p=-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N},\qquad \mu=\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo para achar T,p,\mu. Também vou usar o Teorema de Euler para funções homogêneas quando necessário.

Passo 3

Teste direto de homogeneidade assumindo c fixo (independente de N) e escalando S e V:
U(\lambda S,\lambda V)=c\left(\frac{\lambda S}{\lambda V}\right)^{1/3} = c\left(\frac{S}{V}\right)^{1/3}=U(S,V).
Resultado: U é homogênea de grau 0 em S,V se c for inteiramente constante — ou seja, não cresce com \lambda. Isso significa que, sem mais informação, U NÃO é extensiva apenas como uma função de S,V com c fixo.
Para que U seja extensiva precisamos que, ao escalar os extensivos (S,V,N) por \lambda, U escale como \lambda. A forma dada sugere que a única forma simples de obter grau 1 é que c seja um parâmetro extenso (que escala como \lambda). Em termodinâmica natural, isso acontece se c for proporcional ao número de partículas N. Assim introduzimos
c = a\,N,
onde a é uma constante intensiva (constante por partícula). Com essa dependência, a função passa a ser
U(S,V,N)=a\,N\left(\frac{S}{V}\right)^{1/3}.
Agora testamos homogeneidade:
U(\lambda S,\lambda V,\lambda N) = a(\lambda N)\left(\frac{\lambda S}{\lambda V}\right)^{1/3} = \lambda\,aN\left(\frac{S}{V}\right)^{1/3} = \lambda\,U(S,V,N).
Portanto, com c proporcional a N (isto é, c=aN), U é homogênea de grau 1 e, consequentemente, é extensiva. Conclusão: para que a função dada represente uma energia interna extensiva, c deve ser um parâmetro extenso — a escolha natural é c\propto N.

Passo 4

Agora, com c=aN e
U(S,V,N)=a\,N\,S^{1/3}V^{-1/3},
vamos calcular as equações de estado pelas derivadas parciais, explicando cada passo.
Cálculo de T:
T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = aN\cdot\frac{1}{3}S^{-2/3}V^{-1/3} = \frac{aN}{3}\,S^{-2/3}V^{-1/3}.
Interpretação: T cresce com N e decresce quando S aumenta (de forma S^{-2/3}), etc.
Cálculo de p:
Primeiro calcule a derivada parcial \partial U/\partial V:
\frac{\partial U}{\partial V}=aN\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)S^{1/3}V^{-4/3} = -\frac{aN}{3}\,S^{1/3}V^{-4/3}.
A pressão é p=-\partial U/\partial V, então
p=\frac{aN}{3}\,S^{1/3}V^{-4/3}.
Cálculo do potencial químico \mu:
\mu=\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} = a\,S^{1/3}V^{-1/3}.
Observe que \mu é independente de N nessa forma (porque U é linear em N).

Passo 5

Fazer manipulações úteis para obter relações mais compactas entre U,T,p,\mu.
Reescrevendo U como U=aN S^{1/3}V^{-1/3}, calculemos T S e p V:
T S = \left(\frac{aN}{3}S^{-2/3}V^{-1/3}\right)S = \frac{aN}{3}S^{1/3}V^{-1/3} = \frac{1}{3}U.
p V = \left(\frac{aN}{3}S^{1/3}V^{-4/3}\right)V = \frac{aN}{3}S^{1/3}V^{-1/3} = \frac{1}{3}U.
Portanto
T S = p V = \frac{1}{3}U.
Além disso \mu N = (aS^{1/3}V^{-1/3})N = U. Essas relações mostram consistência com a relação de Euler para funções homogêneas de grau 1:
U = T S - p V + \mu N,
pois aqui T S - p V = 0 e \mu N = U, então a igualdade é satisfeita.
Também podemos escrever T e p em forma compacta em termos de U:
T=\frac{U}{3S},\qquad p=\frac{U}{3V},\qquad \mu=\frac{U}{N}.
E, em termos explícitos de S,V,N,a,
T=\frac{aN}{3}S^{-2/3}V^{-1/3},\qquad p=\frac{aN}{3}S^{1/3}V^{-4/3},\qquad \mu=aS^{1/3}V^{-1/3}.

Resposta

U é extensiva se c for proporcional a N (isto é, c=aN com a intensivo). Nesse caso
U(S,V,N)=aN\left(\frac{S}{V}\right)^{1/3}.
As equações de estado são
T=\frac{aN}{3}S^{-2/3}V^{-1/3}=\frac{U}{3S},
p=\frac{aN}{3}S^{1/3}V^{-4/3}=\frac{U}{3V},
\mu=aS^{1/3}V^{-1/3}=\frac{U}{N}.

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