Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que S é extensiva. Determine as equações de estado para cada caso. Ache a relação fundamental na representação da energia. S=B\left(U^{3} V\right)^{1 / 4}.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação fundamental (representação entrópica)
S = B\left(U^{3}V\right)^{1/4},
onde B é uma constante positiva. As tarefas pedidas são:
Mostrar que S é extensiva (ou seja, verificar homogeneidade de grau 1).
Determinar as equações de estado (expressões para T e P, ou equivalente).
Achar a relação fundamental na representação da energia, isto é, expressar U como função de S e V.
Passo 2
O que significa S ser extensiva? Uma função termodinâmica S(U,V) é extensiva se, ao multiplicar as variáveis extesivas U e V por um fator \lambda>0, a entropia também escala como \lambda:
S(\lambda U,\lambda V)=\lambda S(U,V).
Vamos aplicar essa definição diretamente à expressão dada.
Passo 3
Calcular S(\lambda U,\lambda V). Substituindo \lambda U e \lambda V na fórmula: