Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que S é extensiva. Determine as equações de estado para cada caso. Ache a relação fundamental na representação da energia.
S=B\left(U^{3} V\right)^{1 / 4}.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação fundamental (representação entrópica)
S = B\left(U^{3}V\right)^{1/4},
onde B é uma constante positiva. As tarefas pedidas são:
  • Mostrar que S é extensiva (ou seja, verificar homogeneidade de grau 1).
  • Determinar as equações de estado (expressões para T e P, ou equivalente).
  • Achar a relação fundamental na representação da energia, isto é, expressar U como função de S e V.

Passo 2

O que significa S ser extensiva? Uma função termodinâmica S(U,V) é extensiva se, ao multiplicar as variáveis extesivas U e V por um fator \lambda>0, a entropia também escala como \lambda:
S(\lambda U,\lambda V)=\lambda S(U,V).
Vamos aplicar essa definição diretamente à expressão dada.

Passo 3

Calcular S(\lambda U,\lambda V). Substituindo \lambda U e \lambda V na fórmula:
S(\lambda U,\lambda V) = B\big((\lambda U)^{3}(\lambda V)\big)^{1/4} = B\big(\lambda^{3}U^{3}\cdot\lambda V\big)^{1/4}.
Agrupando potências de \lambda:
\lambda^{3}\cdot\lambda=\lambda^{4}\quad\Rightarrow\quad S(\lambda U,\lambda V) = B\big(\lambda^{4}U^{3}V\big)^{1/4}.
Extraindo \lambda da raiz:
S(\lambda U,\lambda V)=B\lambda\big(U^{3}V\big)^{1/4} =\lambda\,B\big(U^{3}V\big)^{1/4}=\lambda S(U,V).
Portanto S é homogênea de grau 1 e, por isso, extensiva.

Passo 4

Agora vamos obter as equações de estado. Para uma função S(U,V) (sem número de partículas explícito) vale a diferencial termodinâmica
dS=\frac{1}{T}\,dU+\frac{P}{T}\,dV.
Isto implica as relações:
\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U}\quad\text{e}\quad \frac{P}{T}=\frac{\partial S}{\partial V}.
Vamos calcular as derivadas parciais de S(U,V)=B\,U^{3/4}V^{1/4} passo a passo.

Passo 5

Derivada em relação a U (com V fixo). Usando a regra da potência:
\frac{\partial S}{\partial U} = B\cdot\frac{3}{4}U^{-1/4}V^{1/4} =\frac{3B}{4}\,U^{-1/4}V^{1/4}.
Portanto
\frac{1}{T}=\frac{3B}{4}\,U^{-1/4}V^{1/4}.
Invertendo para obter T:
T=\frac{1}{\dfrac{3B}{4}U^{-1/4}V^{1/4}} =\frac{4}{3B}\,U^{1/4}V^{-1/4} =\frac{4}{3B}\left(\frac{U}{V}\right)^{1/4}.

Passo 6

Derivada em relação a V (com U fixo):
\frac{\partial S}{\partial V} = B\cdot\frac{1}{4}U^{3/4}V^{-3/4} =\frac{B}{4}\,U^{3/4}V^{-3/4}.
Logo
\frac{P}{T}=\frac{B}{4}\,U^{3/4}V^{-3/4}.
Substituindo a expressão encontrada para T para achar P em função de U e V:
P = T\cdot\frac{B}{4}\,U^{3/4}V^{-3/4} =\left(\frac{4}{3B}U^{1/4}V^{-1/4}\right)\left(\frac{B}{4}U^{3/4}V^{-3/4}\right).
Simplificando fator a fator: o 4 e \tfrac{1}{4} se cancelam, e B com 1/B também cancelam; somando expoentes de U e V,
P=\frac{1}{3}U^{1/4+3/4}V^{-1/4-3/4}=\frac{1}{3}U^{1}V^{-1}=\frac{U}{3V}.
Uma forma conveniente da equação de estado é
P V=\frac{U}{3}.

Passo 7

Agora vamos obter a relação fundamental na representação da energia U(S,V). Partimos de
S=B\,U^{3/4}V^{1/4}.
Isolando U em termos de S e V: primeiro elevar ambos os lados à quarta potência:
S^{4}=B^{4}U^{3}V.
Isolando U^{3}:
U^{3}=\frac{S^{4}}{B^{4}V}.
Tomando a raiz cúbica (potência 1/3):
U=\left(\frac{S^{4}}{B^{4}V}\right)^{1/3} = B^{-4/3}S^{4/3}V^{-1/3}.
Assim a representação energética é
U(S,V)=B^{-4/3}S^{4/3}V^{-1/3}.

Passo 8

Verificação rápida (consistência): a partir de U(S,V) podemos recuperar T e P pelas fórmulas usuais na representação energética:
T=\frac{\partial U}{\partial S}\Big|_{V}, \qquad P=-\frac{\partial U}{\partial V}\Big|_{S}.
Calculando \partial U/\partial S:
\frac{\partial U}{\partial S}=B^{-4/3}\cdot\frac{4}{3}S^{1/3}V^{-1/3}=\frac{4}{3}B^{-4/3}S^{1/3}V^{-1/3},
o que é T e é algebraicamente equivalente à expressão obtida antes (substituindo S=BU^{3/4}V^{1/4}). Calculando -\partial U/\partial V:
-\frac{\partial U}{\partial V}= -B^{-4/3}S^{4/3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)V^{-4/3}=\frac{1}{3}B^{-4/3}S^{4/3}V^{-4/3},
o que coincide com P quando se usa U(S,V) na forma P=U/(3V). Isso confirma a consistência interna.

Resposta

S é extensiva (homogeneidade de grau 1).
\displaystyle \frac{1}{T}=\frac{3B}{4}\,U^{-1/4}V^{1/4} \Rightarrow \displaystyle T=\frac{4}{3B}\left(\frac{U}{V}\right)^{1/4}.
\displaystyle \frac{P}{T}=\frac{B}{4}\,U^{3/4}V^{-3/4} \Rightarrow \displaystyle P=\frac{U}{3V} (ou \displaystyle PV=\frac{U}{3}).
Representação da energia: \displaystyle U(S,V)=B^{-4/3}S^{4/3}V^{-1/3}.

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