Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
T(x[n])=x[n-10]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o sistema e determinar se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de sinais, como estabilidade, causalidade, linearidade, invariância no tempo e memória. Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. No caso, se é limitado, então também será limitado porque estamos apenas atrasando a entrada sem amplificá-la. Portanto, o sistema é estável.

Passo 3

Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não do futuro. Aqui, significa que a saída em depende da entrada em , que é um valor passado. Então, o sistema é causal.

Passo 4

Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz os princípios da aditividade e homogeneidade. Vamos testar:
  1. Aditividade: Se T(x1[n] + x2[n]) = (x1 + x2)[n-10] = x1[n-10] + x2[n-10] = T(x1[n]) + T(x2[n]) : T(a cdot x[n]) = (a cdot x)[n-10] = a cdot x[n-10] = a cdot T(x[n])
  2. Homogeneidade: Se :
Como ambas as propriedades são satisfeitas, o sistema é linear.

Passo 5

Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também se desloca da mesma forma. Vamos verificar:
Se aplicarmos uma entrada deslocada T(x[n - n0]) = x[(n - n0) - 10] = x[n - (10 + n0)] :
T(x[n]) deslocado = x[(n - n0) -10] = x[n - (10 + n0)]
Isso é igual a deslocar a saída original por :
Como os resultados são iguais, o sistema é invariante no tempo.

Passo 6

Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada naquele mesmo instante. No nosso caso, depende da entrada em , que não é o instante atual. Portanto, o sistema não é sem memória.

Resposta

  • Estável: Sim
  • Causal: Sim
  • Linear: Sim
  • Invariante no Tempo: Sim
  • Sem Memória: Não

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