Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o sistema
e determinar se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de sinais, como estabilidade, causalidade, linearidade, invariância no tempo e memória. Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. No caso, se
é limitado, então
também será limitado porque estamos apenas atrasando a entrada sem amplificá-la. Portanto, o sistema é estável.
Passo 3
Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não do futuro. Aqui,
significa que a saída em
depende da entrada em
, que é um valor passado. Então, o sistema é causal.
Passo 4
Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz os princípios da aditividade e homogeneidade. Vamos testar:
- Aditividade: Se
: - Homogeneidade: Se
:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, o sistema é linear.
Passo 5
Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também se desloca da mesma forma. Vamos verificar:
Se aplicarmos uma entrada deslocada
:
Isso é igual a deslocar a saída original
por
:
Como os resultados são iguais, o sistema é invariante no tempo.
Passo 6
Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada naquele mesmo instante. No nosso caso,
depende da entrada em
, que não é o instante atual. Portanto, o sistema não é sem memória.
Resposta
- Estável: Sim
- Causal: Sim
- Linear: Sim
- Invariante no Tempo: Sim
- Sem Memória: Não