Uma caixa de isopor usada para manter as bebidas frias em um piquenique possui área total igual a \mathbf{0 , 8 0} \mathbf{~ m}^{\mathbf{2}}, e a espessura de sua parede mede \mathbf{2 , 0 ~ c m}. A caixa está cheia de água, gelo e latas de Coca-Cola a \mathbf{0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. Qual é a taxa de fluxo de calor para o interior da caixa se a temperatura externa for \mathbf{3 0}^{\mathbf{\circ}} \mathbf{C} ? Qual é a quantidade de gelo que se liquefaz durante um dia?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • Área total da caixa: \,A=0{,}80\\ \mathrm{m^{2}}\,.
  • Espessura da parede (isopor): \,L=2{,}0\\ \mathrm{cm}\,.
  • Temperatura interna (água, gelo, latas): \,T_{\text{int}}=0^{\circ}\mathrm{C}\,.
  • Temperatura externa: \,T_{\text{ext}}=30^{\circ}\mathrm{C}\,.
Perguntas:
  1. Qual é a taxa de fluxo de calor para o interior da caixa (potência que entra), isto é \dot{Q} em watts?
  2. Qual é a massa de gelo que se liquefaz durante um dia (24 h) devido a esse fluxo de calor?
Observação: o enunciado não fornece a condutividade térmica do isopor; será usado um valor típico (explico e justifico no passo apropriado).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aulas básicas e intuitivas).
Quando a transferência de calor ocorre por condução através de uma parede plana e a temperatura é aproximadamente constante nas superfícies, a taxa de calor estacionária é dada pela lei de Fourier, na forma:
\dot{Q} = \dfrac{k\,A\,\Delta T}{L},
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência) em watts, \mathrm{W}.
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • A é a área através da qual o calor flui em \mathrm{m^{2}}.
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre o exterior e o interior em kelvin (ou graus Celsius, para variação).
  • L é a espessura da parede em metros.
Explicação didática: essa fórmula vem de uma versão simples da lei de Fourier para uma camada plana de espessura L. É razoável usá-la aqui porque a parede da caixa é relativamente fina e a água/gelo no interior está mantida praticamente em 0^{\circ}\mathrm{C} (portanto existe uma diferença de temperatura quase constante através do material). Estamos desprezando perdas por bordas, convecção externa complexa e radiação — isto é comum em exercícios deste tipo; no final comento o efeito dessas aproximações.

Passo 3

Conversões de unidades e escolha do valor de k.
Converter espessura para metros:
L = 2{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{ext}} - T_{\text{int}} = 30^{\circ}\mathrm{C} - 0^{\circ}\mathrm{C} = 30\\ \mathrm{K}.
Valor típico da condutividade térmica do isopor (poliestireno expandido, usado em caixas térmicas): um valor comumente usado em problemas é
k = 0{,}033\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
Comentário: existe variação dependendo da densidade do isopor; usar k=0{,}033\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}} é uma escolha padrão de referência. Se fosse usado outro valor, o resultado escalaria linearmente com k.

Passo 4

Cálculo da taxa de fluxo de calor \dot{Q} passo a passo.
Substituindo na fórmula \dot{Q} = \dfrac{k A \Delta T}{L}:
\dot{Q} = \dfrac{0{,}033\cdot 0{,}80\cdot 30}{0{,}02}\\ \mathrm{W}.
Primeiro calcule o numerador:
0{,}033\cdot 0{,}80 = 0{,}0264,
0{,}0264\cdot 30 = 0{,}792.
Agora divida pela espessura:
\dot{Q} = \dfrac{0{,}792}{0{,}02} = 39{,}6\\ \mathrm{W}.
Interpretação: aproximadamente 39{,}6\\ \mathrm{W} estão entrando continuamente na caixa — isso é energia suficiente para, por exemplo, manter uma lâmpada pequena sempre acesa.

Passo 5

Cálculo da massa de gelo que se liquefaz em um dia.
Energia total que entra em um dia:
\Delta t = 24\\ \mathrm{h} = 24\cdot 3600\\ \mathrm{s} = 86\,400\\ \mathrm{s}.
Q_{\text{dia}} = \dot{Q}\,\Delta t = 39{,}6\\ \mathrm{W}\times 86\,400\\ \mathrm{s} = 3\,421\,440\\ \mathrm{J}.
Se o interior está a 0^{\circ}\mathrm{C}, a maior parte da energia absorvida pelo gelo é gasta na fusão (mudança de fase) sem aumento de temperatura. O calor latente de fusão do gelo é aproximadamente
L_{f} = 334{,}000\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}.
Massa de gelo que derrete:
m = \dfrac{Q_{\text{dia}}}{L_{f}} = \dfrac{3\,421\,440}{334{,}000}\\ \mathrm{kg}.
Calcule:
m \approx 10{,}24\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas (dadas as aproximações no problema):
m \approx 10{,}2\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Comentários finais, verificação de consistência e encorajamento.
  • Resultado da taxa de calor: \dot{Q}\approx 39{,}6\\ \mathrm{W}. Se alguém usar k um pouco maior ou menor (por exemplo 0{,}04 ou 0{,}03\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}), a potência muda proporcionalmente — isso explica por que caixas de isopor com maior densidade (maior k) isolam pior.
  • Resultado da massa de gelo derretida: aproximadamente 10{,}2\\ \mathrm{kg} por dia nas condições dadas e assumindo todo o calor entra e vai apenas para fundir gelo.
  • Essas respostas são razoáveis: uma caixa com área externa pequena e boa espessura perde energia, mas não em velocidade enorme — cerca de 40\\ \mathrm{W} é pouco mais que uma lâmpada incandescente de potência média.
Força aí — com estes passos você pode reproduzir o cálculo rápido na prova: aplicar Fourier para obter \dot{Q} e dividir a energia diária pelo calor latente para achar a massa de gelo derretida.

Resposta

\dot{Q}=39{,}6\\ \mathrm{W}
m\approx 10{,}2\\ \mathrm{kg}

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