Calcular la presión existente sobre un recipiente que contiene 3 Kg de Etano (C2H6), cuyo volumen es de 0.07 \mathrm{~m}^{\wedge} 3 y su temperatura es de 40^{\circ} \mathrm{C}. Usar: T=273.15+t .-
La ecuación de Van der Waals ; \mathrm{P}=\quad \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{\wedge} 2

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Massa do etano: 3\\ \mathrm{kg}.
  • Volume do recipiente: 0,07\\ \mathrm{m}^3.
  • Temperatura: 40^\circ\mathrm{C} e instrução T=273{,}15+t.
  • Pedem a pressão usando a equação de Van der Waals, com resultado em \mathrm{kgf/cm}^2.
Informações relevantes extraídas do enunciado: massa, volume e temperatura. A tarefa é calcular a pressão do gás etano no recipiente e expressá‑la em \mathrm{kgf/cm}^2.

Passo 2

Escrevemos a equação de Van der Waals e explicamos cada termo. A forma utilizada é
\left(P + a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}\right)\left(V - n b\right) = n R T.
Aqui:
  • P é a pressão (procurada).
  • a e b são as constantes de Van der Waals do etano (valores por mol).
  • n é o número de mols do gás.
  • V é o volume do recipiente.
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Despejando P, obtemos a forma prática para cálculo:
P = \frac{n R T}{V - n b} - a\left(\frac{n}{V}\right)^2.
Vou calcular cada termo passo a passo, com atenção às unidades.

Passo 3

Calcular o número de mols n.
  • Massa molar do etano \mathrm{C_2H_6}: M = 2\cdot 12{,}011 + 6\cdot 1{,}008 \approx 30{,}07\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}03007\\ \mathrm{kg/mol}.
Logo
n=\frac{\text{massa}}{M}=\frac{3\\ \mathrm{kg}}{0{,}03007\\ \mathrm{kg/mol}}.
Calculemos:
n \approx \frac{3}{0{,}03007} \approx 99{,}77\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Escolher e converter as constantes de Van der Waals para etano (valores de tabela). Usarei valores comumente tabulados:
a = 5{,}507\\ \mathrm{L^2\cdot bar/mol^2},\qquad b = 0{,}0651\\ \mathrm{L/mol}.
Precisamos convertê‑los para SI ( \mathrm{Pa\cdot m^6/mol^2} para a e \mathrm{m^3/mol} para b).
Conversões:
1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m^3},\qquad 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
a = 5{,}507\cdot(10^{-3})^2\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa\cdot m^6/mol^2} = 0{,}5507\\ \mathrm{Pa\cdot m^6/mol^2},
b = 0{,}0651\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^3/mol} = 6{,}51\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.

Passo 5

Calcular a temperatura absoluta T:
T = 273{,}15 + 40 = 313{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular n R T (numerador da primeira parcela):
Primeiro R T:
R T = 8{,}314\cdot 313{,}15 \approx 2\,603{,}67\\ \mathrm{J/(mol)}.
Então
n R T \approx 99{,}77\cdot 2\,603{,}67 \approx 259\,758\\ \mathrm{J} = 259\,758\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}.

Passo 7

Calcular V - n b (denominador efetivo do volume):
n b = 99{,}77\cdot 6{,}51\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3} \approx 0{,}0064948\\ \mathrm{m^3}.
Então
V - n b = 0{,}07 - 0{,}0064948 = 0{,}0635052\\ \mathrm{m^3}.
Agora a primeira parcela da equação de Van der Waals:
P_1=\frac{n R T}{V - n b} \approx \frac{259\,758}{0{,}0635052}\\ \mathrm{Pa} \approx 4{,}091{,}880\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Calcular a parcela de correção de interação a\left(\dfrac{n}{V}\right)^2:
Primeiro a densidade molar n/V:
\frac{n}{V}=\frac{99{,}77}{0{,}07}\approx 1\,425{,}23\\ \mathrm{mol/m^3}.
Seu quadrado:
\left(\frac{n}{V}\right)^2 \approx 2{,}031{,}277\\ \mathrm{mol^2/m^6}.
Multiplicando por a:
P_2 = a\left(\frac{n}{V}\right)^2 \approx 0{,}5507\cdot 2{,}031{,}277 \approx 1{,}118{,}624\\ \mathrm{Pa}.

Passo 9

Obter a pressão absoluta P em pascal e converter para \mathrm{kgf/cm}^2.
Subtraindo o termo de correção:
P = P_1 - P_2 \approx 4{,}091{,}880 - 1{,}118{,}624 = 2{,}973{,}256\\ \mathrm{Pa}.
Converter de pascal para \mathrm{kgf/cm}^2. Sabendo que
1\\ \mathrm{kgf/cm}^2 = \frac{9{,}80665\\ \mathrm{N}}{1\\ \mathrm{cm}^2} = 9{,}80665\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} = 98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Logo
P\\ [\mathrm{kgf/cm}^2]=\frac{2{,}973{,}256}{98\,066{,}5}\approx 30{,}32\\ \mathrm{kgf/cm}^2.

Passo 10

Comentário final curto (motivação/checagem): o valor é da ordem de 10^{1}\\ \mathrm{kgf/cm}^2, o que corresponde a pressão muito alta comparada à atmosférica; isso é coerente dado o pequeno volume, grande número de mols e a temperatura usada. A equação de Van der Waals melhora a previsão sobre a ideal ao incluir volume próprio das moléculas ( b) e as forças intermoleculares ( a), por isso subtraímos P_2.

Resposta

30{,}32\\ \mathrm{kgf/cm}^2

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