Calcular la presión existente sobre un recipiente que contiene 2 Kg de Etileno (C2H4) , cuyo volumen es de 0.04 \mathrm{~m}^{\wedge} 3 y su temperatura es de 30^{\circ} \mathrm{C}. Usar la ecuación de estado reducida (Van der Waals). Usar: T= 273.15+ t.-
d) \mathrm{P}=\ldots \quad \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{\wedge} 2

Passo 1

Entender o que o exercício pede e quais são os dados. O enunciado pede calcular a pressão existente no recipiente usando a equação de estado reduzida (Van der Waals), com unidade final em \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.
Dados fornecidos e constantes que vamos usar:
\begin{aligned} &\text{massa do etileno: } m = 2{,}0\\ \mathrm{kg} \\\ &\text{volume do recipiente: } V = 0{,}04\\ \mathrm{m}^3 \\\ &\text{temperatura: } t = 30^\circ\mathrm{C}\quad\Rightarrow\quad T = 273{,}15 + t = 303{,}15\\ \mathrm{K} \\\ &\text{massa molar do etileno (C}_2\mathrm{H}_4\text{): } M = 28{,}054\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol} \\\ &\text{constante dos gases: } R = 8{,}314462\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} \\\ &\text{constantes críticas do etileno (valores tabulados que usaremos): } T_c = 282{,}34\\ \mathrm{K},\quad P_c = 5{,}04\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} \\\ &\text{fator de conversão: }1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2 = 98066{,}5\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}íã

Passo 2

Calcular o número de mols \,n do etileno a partir da massa e da massa molar. Fórmula:
n=\frac{m}{M}.
Substituindo os valores:
n=\frac{2{,}0}{28{,}054\times10^{-3}} \approx 71{,}312\\ \text{mol}.
Explicação rápida: m está em kg e M em kg/mol, então a divisão dá mols.

Passo 3

Calcular o volume molar \,V_m (volume por mol):
V_m=\frac{V}{n}.
Substituindo:
V_m=\frac{0{,}04}{71{,}312}\approx 5{,}6092\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Intuição: cada mol ocupa esse volume médio dentro do recipiente.

Passo 4

Apresentar a forma reduzida (adimensional) da equação de Van der Waals e explicar variáveis reduzidas.
Van der Waals original (por mol):
P=\frac{R T}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^2},
onde a e b são constantes características da substância. Usamos as variáveis reduzidas:
P_r=\frac{P}{P_c},\qquad V_r=\frac{V_m}{V_c},\qquad T_r=\frac{T}{T_c},
sendo P_c,T_c,V_c as propriedades críticas. A equação de Van der Waals em forma reduzida (obtida ao substituir as relações entre a,b e as propriedades críticas) fica:
\bigg(P_r+\frac{3}{V_r^2}\bigg)\big(3V_r-1\big)=8T_r.
Explicação das partes:
  • P_r é a pressão reduzida (adimensional).
  • V_r é o volume molar reduzido (adimensional).
  • T_r é a temperatura reduzida (adimensional).
    Essa forma é conveniente porque elimina a e b explicítos e usa apenas P_c,T_c,V_c.

Passo 5

Calcular V_c (volume molar crítico) a partir de T_c e P_c usando as relações de Van der Waals. Das fórmulas críticas para vdW temos:
b=\frac{R T_c}{8 P_c},\qquad V_c=3b.
Essas fórmulas vêm das condições de ponto crítico aplicadas à equação de Van der Waals (não vou derivar toda a derivação agora, mas são relações padrão).
Calcule b e V_c:
b=\frac{8{,}314462\cdot 282{,}34}{8\cdot 5{,}04\times10^{6}} \approx 5{,}8226\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol},
V_c=3b\approx 1{,}7468\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.

Passo 6

Calcular as variáveis reduzidas V_r e T_r:
V_r=\frac{V_m}{V_c}=\frac{5{,}6092\times10^{-4}}{1{,}7468\times10^{-4}}\approx 3{,}2129,
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{303{,}15}{282{,}34}\approx 1{,}0737.
Interpretação: V_r>1 significa que o volume molar está maior que o crítico; T_r>1 estamos acima da temperatura crítica (ainda bem).

Passo 7

Resolver a equação reduzida para P_r. A equação reduzida é
\bigg(P_r+\frac{3}{V_r^2}\bigg)\big(3V_r-1\big)=8T_r.
Isolando P_r:
P_r=\frac{8T_r}{3V_r-1}-\frac{3}{V_r^2}.
Substituindo os valores numéricos:
3V_r-1=3\cdot 3{,}2129-1=8{,}6387,
\frac{8T_r}{3V_r-1}=\frac{8\cdot 1{,}0737}{8{,}6387}\approx 0{,}9944,
\frac{3}{V_r^2}=\frac{3}{(3{,}2129)^2}\approx 0{,}2904,
P_r\approx 0{,}9944-0{,}2904=0{,}7040.

Passo 8

Converter P_r em pressão absoluta P e depois para \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.
Primeiro P em Pascal:
P=P_r\cdot P_c=0{,}7040\cdot 5{,}04\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx 3{,}551\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Agora converter para \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2 usando 1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2=98066{,}5\\ \mathrm{Pa}:
P\big(\mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2\big)=\frac{3{,}551\times10^{6}}{98066{,}5}\approx 36{,}2\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2.
Breve comentário de checagem: o resultado pelo gás ideal seria \,P_{\text{ideal}}=\dfrac{nRT}{V}\approx 4{,}49\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, ou seja \approx 45{,}8\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2. A equação de van der Waals reduzida dá pressão menor que o ideal, o que faz sentido por efeitos de atração intermolecular (termo -a/V_m^2).

Resposta

\displaystyle P=36{,}2\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2

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