Calcule (a) o comprimento de onda térmico de um átomo de Ar em uma caixa cúbica de lado 1,00 \mathrm{~cm}. Dica: Para calcular a massa atômica do argônio use a unidade de massa atômica ( \mathbf{u}= 1,6605 \times 10^{-26} \mathrm{~kg} ) e o número de massa do argônio ( 39,95 \mathbf{u} ).

Passo 1

O enunciado pede (a) o comprimento de onda térmico de um átomo de argônio em uma caixa cúbica de lado 1,00\\ \mathrm{cm}. Informações dadas:
  • Número de massa do argônio: 39,95\\ \mathbf{u}.
  • Unidade de massa atômica fornecida: \mathbf{u}=1,6605\times 10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  • Lado da caixa: 1,00\\ \mathrm{cm} (ou seja 1,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}).
Obs.: o enunciado não especifica a temperatura; vou assumir temperatura ambiente típica T=300\\ \mathrm{K} (se quiser outro T, a mesma fórmula vale e basta substituir).

Passo 2

Calcular a massa do átomo de argônio a partir da massa atômica fornecida. A massa m é:
m = 39,95\times\mathbf{u} = 39,95\times\left(1,6605\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}\right).
Vou efetuar a multiplicação passo a passo:
39,95\times1,6605 = 66,336975,
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m = 66,336975\times10^{-26}\\ \mathrm{kg} = 6,6336975\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Explicar o que é o comprimento de onda térmico e qual fórmula usar. Intuitivamente, o comprimento de onda térmico é uma medida do comprimento de onda de de Broglie associado a um átomo com energia térmica típica à temperatura T. Uma definição padrão (usada em física estatística) é
\lambda_{\text{th}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}},
onde:
  • h é a constante de Planck ( h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s});
  • m é a massa da partícula (já calculada);
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Breve comentário pedagógico: essa fórmula surge ao comparar a escala de comprimento associada à incerteza quântica (comprimento de de Broglie) com a distribuição de momentos térmicos; não é preciso decorar derivação completa para a prova, mas é importante saber que \lambda_{\text{th}} decresce quando a massa ou a temperatura aumentam.

Passo 4

Substituir os números na expressão e calcular a quantidade dentro da raiz (faço passo a passo para ficar claro).
Primeiro calcule m k_B T:
m k_B T = \left(6,6336975\times10^{-25}\right)\times\left(1,380649\times10^{-23}\right)\times(300).
Faço a multiplicação dos fatores numéricos:
6,6336975\times1,380649 \approx 9,161811\quad\Rightarrow\quad 9,161811\times300 = 2,7485433\times10^{0}.
Agora os expoentes: 10^{-25}\times10^{-23} = 10^{-48}. Assim
m k_B T \approx 2,7485433\times10^{-45}\\ \mathrm{J\cdot kg}.
Multiplicando por 2\pi:
2\pi m k_B T \approx 2\pi\times2,7485433\times10^{-45} \approx 1,7273\times10^{-44}.

Passo 5

Agora calculo a raiz quadrada e, em seguida, \lambda_{\text{th}}.
\sqrt{2\pi m k_B T} \approx \sqrt{1,7273\times10^{-44}} \approx 1,3136\times10^{-22}.
Finalmente
\lambda_{\text{th}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}} =\frac{6,62607015\times10^{-34}}{1,3136\times10^{-22}} \approx 5,04\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação rápida e comparação com o lado da caixa: o lado da caixa é 1,00\\ \mathrm{cm}=1,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}. A razão entre comprimento de onda térmico e o lado é
\frac{\lambda_{\text{th}}}{L} \approx \frac{5,04\times10^{-12}}{1,00\times10^{-2}} = 5,04\times10^{-10},
ou seja, \lambda_{\text{th}} é extremamente menor que o tamanho da caixa — isto indica que efeitos quânticos coletivos (como confinamento quântico forte) são desprezíveis para um átomo de argônio nessa escala e temperatura.

Resposta

\lambda_{\text{th}}\approx5,04\times10^{-12}\\ \mathrm{m}

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