Calcule (a) o comprimento de onda térmico de um átomo de Ar em uma caixa cúbica de lado
. Dica: Para calcular a massa atômica do argônio use a unidade de massa atômica (
) e o número de massa do argônio (
).
Passo 1
O enunciado pede (a) o comprimento de onda térmico de um átomo de argônio em uma caixa cúbica de lado
. Informações dadas:
- Número de massa do argônio:
. - Unidade de massa atômica fornecida:
. - Lado da caixa:
(ou seja ).
Obs.: o enunciado não especifica a temperatura; vou assumir temperatura ambiente típica
(se quiser outro
, a mesma fórmula vale e basta substituir).
Passo 2
Calcular a massa do átomo de argônio a partir da massa atômica fornecida. A massa
é:
Vou efetuar a multiplicação passo a passo:
logo
Passo 3
Explicar o que é o comprimento de onda térmico e qual fórmula usar. Intuitivamente, o comprimento de onda térmico é uma medida do comprimento de onda de de Broglie associado a um átomo com energia térmica típica à temperatura
. Uma definição padrão (usada em física estatística) é
onde:
-
é a constante de Planck ( ); -
é a massa da partícula (já calculada); -
é a constante de Boltzmann ( ); -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Breve comentário pedagógico: essa fórmula surge ao comparar a escala de comprimento associada à incerteza quântica (comprimento de de Broglie) com a distribuição de momentos térmicos; não é preciso decorar derivação completa para a prova, mas é importante saber que
decresce quando a massa ou a temperatura aumentam.
Passo 4
Substituir os números na expressão e calcular a quantidade dentro da raiz (faço passo a passo para ficar claro).
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Faço a multiplicação dos fatores numéricos:
Agora os expoentes:
. Assim
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora calculo a raiz quadrada e, em seguida,
.
Finalmente
Passo 6
Interpretação rápida e comparação com o lado da caixa: o lado da caixa é
. A razão entre comprimento de onda térmico e o lado é
ou seja,
é extremamente menor que o tamanho da caixa — isto indica que efeitos quânticos coletivos (como confinamento quântico forte) são desprezíveis para um átomo de argônio nessa escala e temperatura.