Um gás ideal percorre um ciclo de Carnot formado por a) uma expansão isotérmica (AB) a uma temperatura
, b) uma expansão adiabática (BC), c) uma compressão isotérmica (CD) a uma temperatura
e d) uma compressão adiabática (DA). Mostre que os volumes e as pressões dos quatro estados
e
satisfazem as relações
e
. Calcule o trabalho realizado e o calor trocado em cada trecho do ciclo. Mostre explicitamente que o rendimento é dado por
.
Passo 1
O enunciado descreve um ciclo de Carnot realizado por um gás ideal, composto por quatro trechos em sequência:
a) expansão isotérmica à temperatura
,
b) expansão adiabática ,
c) compressão isotérmica à temperatura
,
d) compressão adiabática .
a) expansão isotérmica
b) expansão adiabática
c) compressão isotérmica
d) compressão adiabática
As perguntas são:
- Mostrar que
e . - Calcular o trabalho realizado e o calor trocado em cada trecho do ciclo.
- Mostrar explicitamente que o rendimento é
.
Informações relevantes e notação que vamos usar:
- O gás é ideal com
mols; constante dos gases . -
é a capacidade calorífica molar a volume constante; . - Para processos isotérmicos do gás ideal a temperatura
vale e a pressão satisfaz . - Para adiabáticos reversíveis do gás ideal valem as leis de Poisson:
e . - Convenção de sinais:
trabalho realizado pelo gás; calor absorvido pelo gás.
Passo 2
Derivação curta das relações adiabáticas que usarei (didática): para adiabático reversível
e a primeira lei dá
. Para gás ideal
e
. Substituindo:
Dividindo por
:
Integramos de um estado a outro (constantes
e
):
ou
Usando
obtemos
ou seja
A partir daí também se obtém
constante usando
. Essas são as leis de Poisson para adiabáticos reversíveis.
Passo 3
Usar as leis adiabáticas nos pedaços
e
para relacionar volumes.
Para o trecho adiabático
(temperatura decresce de
para
):
Isto implica
Para o trecho adiabático
(temperatura sobe de
para
):
Isto implica
Comparando as duas equações:
Como
, concluímos
Rearranjando:
Essa é a primeira relação pedida.
Passo 4
Mostrar a relação entre pressões usando a equação de estado do gás ideal.
Nos pontos
e
ambos estão à mesma temperatura
, logo
Logo
Nos pontos
e
ambos estão à mesma temperatura
, logo
e portanto
Usando a relação de volumes do Passo 3,
, obtemos
Isto é exatamente a segunda relação pedida:
Passo 5
Cálculo do trabalho e calor no trecho isotérmico
(expansão a
).
Para processo isotérmico de gás ideal
. O trabalho realizado pelo gás é
Como é isotérmico para gás ideal, a energia interna só depende de
, então
. Pela primeira lei,
portanto
(Aqui
pois é calor absorvido do reservatório quente.)
Passo 6
Cálculo no trecho adiabático
.
Por ser adiabático reversível
. Pela primeira lei,
Como
do gás ideal depende só de
,
Logo
Aqui
porque
e o gás realiza trabalho na expansão adiabática.
Passo 7
Cálculo no trecho isotérmico
(compressão a
).
De maneira análoga ao trecho
,
Como é isotérmico,
e portanto
Note que
(compressão) então
e
: o trabalho é realizado sobre o gás, e
é calor rejeitado ao reservatório frio.
Passo 8
Cálculo no trecho adiabático
.
Adiabático:
. Pela primeira lei,
Mas
(subida de
para
), assim
Aqui
: trabalho é feito sobre o gás na compressão adiabática.
Passo 9
Somatório das obras e simplificação para o trabalho líquido.
Soma total do trabalho no ciclo:
Substituindo
e
observa-se que os dois se cancelam:
Logo
Usando a relação de volumes do Passo 3,
, temos
. Então
Passo 10
Cálculo do rendimento
.
O calor absorvido do reservatório quente ocorre apenas no trecho isotérmico
:
Portanto o rendimento do ciclo é
As
e
cancelam, ficando a forma clássica do rendimento de Carnot.