Calcule (b) a partição de partição translacional de um átomo de Ar em uma caixa cúbica de lado
. Dica: Para calcular a massa atômica do argônio use a unidade de massa atômica (
) e o número de massa do argônio (
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a partição translacional de um átomo de Argônio confinado em uma caixa cúbica de lado
. Informações dadas e o que precisamos:
- Lado da caixa:
. - Unidade de massa atômica fornecida:
. - Número de massa do argônio:
. - O que é pedido: a partição translacional unipartícula
para esse átomo na caixa.
Observação importante: o valor numérico dedepende da temperatura . O enunciado não informa . Vou: - primeiro deduzir a fórmula geral e mostrar como calcular a partir de
, - e em seguida apresentar um cálculo numérico de exemplo assumindo temperatura ambiente
(se precisar de outro , o procedimento é o mesmo).
Passo 2
Fórmulas que usaremos e significado das variáveis (explicação didática):
- A partição translacional unipartícula num regime clássico (caixa grande comparada ao comprimento de onda térmico) é dada por
onde
é o volume disponível e
é o comprimento de onda de Broglie térmico (também chamado de comprimento de onda térmico de de Broglie), que mede a “extensão quântica” da partícula devido à sua energia térmica.
- O comprimento de onda térmico é
onde:
-
é a constante de Planck (unidade ), -
é a massa da partícula (aqui, massa do átomo de Ar, em kg), -
é a constante de Boltzmann (unidade ), -
é a temperatura absoluta (em K). - Interpretação curta: quanto maior
ou menor , menor e, portanto, maior . Intuitivamente, em temperatura alta a partícula “explora” mais estados translacionais.
Passo 3
Calcular a massa do átomo de Argônio usando os dados fornecidos (a conversão de unidades de massa atômica):
- Massa atômica do Ar:
. - Valor de
fornecido: .
Logo a massa é
Fazendo a multiplicação:
(Arredondaremos resultados numéricos no final com dígitos significativos razoáveis.)
Passo 4
Calcular o volume
da caixa:
- Lado
.
Passo 5
Colocar as constantes físicas numéricas que usaremos (valores padrão):
Passo 6
Expressão final em termos de
(fórmula prática para a prova):
Substituindo
em
dá, explicitamente,
Esta é a forma que normalmente aparece nas provas: basta conhecer
,
,
,
e
.
Passo 7
Cálculo numérico de exemplo assumindo
(temperatura ambiente):
- Calcular o denominador da definição de
:
Fazendo as contas (detalhes numéricos já simplificados):
- Raiz quadrada:
- Comprimento de onda térmico:
-
:
- Partição translacional:
Passo 8
Interpretação rápida e comentário prático:
- O valor obtido
é muito grande, o que faz sentido: mesmo uma única partícula em uma caixa macroscópica tem um número enorme de estados translacionais acessíveis a temperatura ambiente. - Na prova: se pedirem a expressão, memorize
. Para cálculo numérico, converta massa para kg e volume para antes de inserir valores.