Calcule (b) a partição de partição translacional de um átomo de Ar em uma caixa cúbica de lado 1,00 \mathrm{~cm}. Dica: Para calcular a massa atômica do argônio use a unidade de massa atômica ( \mathbf{u}= 1,6605 \times 10^{-26} \mathrm{~kg} ) e o número de massa do argônio ( 39,95 \mathbf{u} ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a partição translacional de um átomo de Argônio confinado em uma caixa cúbica de lado 1,00\\ \mathrm{cm}. Informações dadas e o que precisamos:
  • Lado da caixa: L=1{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Unidade de massa atômica fornecida: \mathbf{u}=1{,}6605\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  • Número de massa do argônio: 39{,}95\\ \mathbf{u}.
  • O que é pedido: a partição translacional unipartícula q_{\text{trans}} para esse átomo na caixa.
    Observação importante: o valor numérico de q_{\text{trans}} depende da temperatura T. O enunciado não informa T. Vou:
  • primeiro deduzir a fórmula geral e mostrar como calcular a partir de T,
  • e em seguida apresentar um cálculo numérico de exemplo assumindo temperatura ambiente T=298{,}15\\ \mathrm{K} (se precisar de outro T, o procedimento é o mesmo).

Passo 2

Fórmulas que usaremos e significado das variáveis (explicação didática):
  • A partição translacional unipartícula num regime clássico (caixa grande comparada ao comprimento de onda térmico) é dada por
q_{\text{trans}}=\frac{V}{\lambda^3},
onde V é o volume disponível e \lambda é o comprimento de onda de Broglie térmico (também chamado de comprimento de onda térmico de de Broglie), que mede a “extensão quântica” da partícula devido à sua energia térmica.
  • O comprimento de onda térmico é
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}},
onde:
  • h é a constante de Planck (unidade \mathrm{J\cdot s}),
  • m é a massa da partícula (aqui, massa do átomo de Ar, em kg),
  • k_B é a constante de Boltzmann (unidade \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
  • Interpretação curta: quanto maior T ou menor m, menor \lambda e, portanto, maior q_{\text{trans}}. Intuitivamente, em temperatura alta a partícula “explora” mais estados translacionais.

Passo 3

Calcular a massa do átomo de Argônio usando os dados fornecidos (a conversão de unidades de massa atômica):
  • Massa atômica do Ar: 39{,}95\\ \mathbf{u}.
  • Valor de \mathbf{u} fornecido: 1{,}6605\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
    Logo a massa é
m = 39{,}95\times\bigl(1{,}6605\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}\bigr).
Fazendo a multiplicação:
m = 6{,}6336975\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
(Arredondaremos resultados numéricos no final com dígitos significativos razoáveis.)

Passo 4

Calcular o volume V da caixa:
  • Lado L=1{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
V = L^3 = (0{,}01\\ \mathrm{m})^3 = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Colocar as constantes físicas numéricas que usaremos (valores padrão):
h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Expressão final em termos de T (fórmula prática para a prova):
q_{\text{trans}}(T)=\frac{V}{\lambda^3} \quad\text{com}\quad \lambda=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}.
Substituindo \lambda em q_{\text{trans}} dá, explicitamente,
q_{\text{trans}}(T)=V\left(\frac{\sqrt{2\pi m k_B T}}{h}\right)^3 =V\frac{(2\pi m k_B T)^{3/2}}{h^3}.
Esta é a forma que normalmente aparece nas provas: basta conhecer V, m, h, k_B e T.

Passo 7

Cálculo numérico de exemplo assumindo T=298{,}15\\ \mathrm{K} (temperatura ambiente):
  1. Calcular o denominador da definição de \lambda:
2\pi m k_B T \approx 2\pi\times(6{,}6336975\times10^{-25})\times(1{,}380649\times10^{-23})\times(298{,}15).
Fazendo as contas (detalhes numéricos já simplificados):
2\pi m k_B T \approx 1{,}7150100\times10^{-44}.
  1. Raiz quadrada:
\sqrt{2\pi m k_B T}\approx 1{,}309585\times10^{-22}\\ \mathrm{kg^{1/2}\,m^{1/2}\,s^{-1}}.
  1. Comprimento de onda térmico:
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}} \approx\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{1{,}309585\times10^{-22}} \approx 5{,}0599\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  1. \lambda^3:
\lambda^3 \approx (5{,}0599\times10^{-12})^3 \approx 1{,}295\times10^{-34}\\ \mathrm{m^3}.
  1. Partição translacional:
q_{\text{trans}}=\frac{V}{\lambda^3} =\frac{1{,}00\times10^{-6}}{1{,}295\times10^{-34}} \approx 7{,}72\times10^{27}.

Passo 8

Interpretação rápida e comentário prático:
  • O valor obtido q_{\text{trans}}\sim10^{27} é muito grande, o que faz sentido: mesmo uma única partícula em uma caixa macroscópica tem um número enorme de estados translacionais acessíveis a temperatura ambiente.
  • Na prova: se pedirem a expressão, memorize q_{\text{trans}}=V(2\pi m k_B T)^{3/2}/h^3. Para cálculo numérico, converta massa para kg e volume para \mathrm{m^3} antes de inserir valores.

Resposta

q_{\text{trans}}\approx7{,}72\times10^{27} (assumindo T=298{,}15\\ \mathrm{K}).

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