Demonstre que a eficiência de uma máquina térmica operando entre duas temperaturas
e
num processo cíclico quase-estático qualquer é sempre menor do que uma que opere segundo um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas. As temperaturas
e
devem ser entendidas como as temperaturas máxima e mínima atingidas pela substância que sofre o ciclo. Sugestão: trace o ciclo num diagrama
e o compare com o ciclo de Carnot. Lembrar que nesse diagrama o calor trocado ao longo de uma trajetória se identifica com a área sob a trajetória.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se demonstrar que a eficiência de uma máquina térmica qualquer, que opera ciclicamente entre duas temperaturas limite
(temperatura máxima atingida pela substância) e (temperatura mínima), é sempre menor ou igual à eficiência de uma máquina de Carnot que opera entre as mesmas temperaturas. - Informações importantes fornecidas:
- O ciclo é cíclico (volta ao mesmo estado inicial).
- O ciclo é quase-estático (o enunciado sugere usar o diagrama
e lembra que, nesse diagrama, o calor trocado ao longo de uma trajetória se identifica com a área sob a trajetória). -
e são as temperaturas máxima e mínima atingidas pelo sistema (ou seja, são as temperaturas das fontes “quente” e “fria” entre as quais a máquina opera).
- O objetivo final (o que preciso provar): para qualquer ciclo que troque calor com essas temperaturas, a eficiência
satisfaz sendo a igualdade (máxima eficiência) obtida apenas para o ciclo de Carnot (reversível) entre e .
Passo 2
Definições básicas e explicação física necessária.
- Eficiência de uma máquina térmica: defino
como a razão entre trabalho líquido produzido no ciclo e o calor absorvido da fonte quente : Como em um ciclo , onde é o calor rejeitado para a fonte fria, outra forma útil é Aqui estou adotando a convenção habitual: é calor recebido da fonte quente, é calor cedido à fonte fria. - Entropia e relação calor/entropia (intuição): para um processo reversível infinitesimal, a variação de entropia do sistema é
isto é, para processos reversíveis temos . No diagrama o calor trocado reversivelmente ao longo de uma trajetória é exatamente a área sob a curva : Essa última fórmula vale estritamente para processos reversíveis (quase-estáticos e sem produção interna líquida de entropia na interação calorífica). - Desigualdade de Clausius (ferramenta central): para qualquer ciclo real (reversível ou não) vale a desigualdade de Clausius
com igualdade se e somente se o ciclo for inteiramente reversível. Nesta expressão é a temperatura do reservatório (ou da superfície de contato) com o qual se troca o calor . Essa desigualdade é a forma quantitativa da 2.ª lei da termodinâmica e será usada para obter o limite superior da eficiência. Vou explicar e usar essa desigualdade de forma direta e elementar no passo seguinte.
Passo 3
Aplicando a desigualdade de Clausius ao ciclo que troca calor apenas com duas fontes a
e
.
- Considere que, durante o ciclo, a máquina absorve total
da fonte quente à temperatura e rejeita total para a fonte fria à temperatura . (Isto é a situação típica: trocas principais ocorrem com essas duas temperaturas extremas.) - A desigualdade de Clausius escrita para este ciclo torna-se (as únicas contribuições de calor ocorrem nesses dois contatos)
Aqui estou assumindo que é trocado com um reservatório a temperatura e com um reservatório a , de modo que os termos aparecem na forma com sinal positivo para calor recebido e negativo para calor cedido. - Reorganizando essa desigualdade obtenho
Passo 4
Da desigualdade para a eficiência.
- Usando a expressão
e a desigualdade obtida , temos - Portanto, a eficiência de qualquer máquina térmica (real) que opere trocando calor apenas com dois reservatórios a
e satisfaz
Passo 5
Quando ocorre igualdade (ligação com o ciclo de Carnot).
- A desigualdade de Clausius tem igualdade se e somente se o ciclo for reversível em todas as partes (isto é, não houver produção de entropia interna durante o ciclo). Assim a condição de igualdade
ocorre somente para ciclos reversíveis. - O ciclo reversível ideal que atinge essa eficiência é o ciclo de Carnot. Logo o limite superior
é exatamente a eficiência do ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas. Isso demonstra que nenhuma máquina real (irreversível) pode superar a máquina de Carnot, e todos os ciclos reversíveis têm a mesma eficiência de Carnot.
Passo 6
Interpretação geométrica no diagrama
(intuição visual conforme a sugestão).
- Para processos reversíveis podemos identificar o calor trocado com a área sob a curva
: . O ciclo de Carnot no diagrama é um retângulo formado por duas isotermas horizontais em e e duas linhas verticalmente isentrópicas (adiabáticas reversíveis). Nesse retângulo: - O calor absorvido na isoterma quente vale
. - O calor rejeitado na isoterma fria vale
. - A eficiência é então
.
- O calor absorvido na isoterma quente vale
- Para um ciclo reversível qualquer que tenha a mesma temperatura máxima
e mínima , ao percorrer a curva no a área sob a parte “de absorção” vale (porque ao longo da absorção ) e a área sob a parte “de rejeição” satisfaz (porque ao longo da rejeição ), onde é a variação de entropia entre os pontos de contato quente e frio para o fluxo útil. Assim geometricamente a “largura” em multiplicada por produz a maior área de entrada possível e multiplicada por a menor área de rejeição possível — isso corresponde exatamente ao retângulo de Carnot, que maximiza a diferença e, portanto, a eficiência. - Observação: a argumentação geométrica usando áreas sob curvas requer que os trocos de calor possam ser escritos como
, logo é direta para processos reversíveis (quase-estáticos). A prova rigorosa e geral para processos irreversíveis é a que usamos antes, baseada na desigualdade de Clausius, que não assume reversibilidade.
Passo 7
Resumo final e incentivo.
- Concluímos de forma rigorosa (pela desigualdade de Clausius) que, para qualquer ciclo real que interaja com duas fontes a
e , - A igualdade é obtida apenas se o ciclo for totalmente reversível — e o ciclo reversível ideal que realiza essa igualdade é o ciclo de Carnot. Em linguagem de prova: a máquina de Carnot é a mais eficiente possível entre duas temperaturas fixas.
- Força nos estudos — essa é uma demonstração clássica e muito útil para a prova. Se quiser, faço agora o mesmo raciocínio escrito de outra forma (mais geométrica ou com um exemplo numérico) para fixar.