Demonstre que a eficiência de uma máquina térmica operando entre duas temperaturas T_{1} e T_{2} num processo cíclico quase-estático qualquer é sempre menor do que uma que opere segundo um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas. As temperaturas T_{1} e T_{2} devem ser entendidas como as temperaturas máxima e mínima atingidas pela substância que sofre o ciclo. Sugestão: trace o ciclo num diagrama T-S e o compare com o ciclo de Carnot. Lembrar que nesse diagrama o calor trocado ao longo de uma trajetória se identifica com a área sob a trajetória.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se demonstrar que a eficiência de uma máquina térmica qualquer, que opera ciclicamente entre duas temperaturas limite T_{1} (temperatura máxima atingida pela substância) e T_{2} (temperatura mínima), é sempre menor ou igual à eficiência de uma máquina de Carnot que opera entre as mesmas temperaturas.
  • Informações importantes fornecidas:
    • O ciclo é cíclico (volta ao mesmo estado inicial).
    • O ciclo é quase-estático (o enunciado sugere usar o diagrama T\!-\!S e lembra que, nesse diagrama, o calor trocado ao longo de uma trajetória se identifica com a área sob a trajetória).
    • T_{1} e T_{2} são as temperaturas máxima e mínima atingidas pelo sistema (ou seja, são as temperaturas das fontes “quente” e “fria” entre as quais a máquina opera).
  • O objetivo final (o que preciso provar): para qualquer ciclo que troque calor com essas temperaturas, a eficiência \eta satisfaz \eta \le 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}},sendo a igualdade (máxima eficiência) obtida apenas para o ciclo de Carnot (reversível) entre T_{1} e T_{2}.

Passo 2

Definições básicas e explicação física necessária.
  • Eficiência de uma máquina térmica: defino \eta como a razão entre trabalho líquido produzido no ciclo W e o calor absorvido da fonte quente Q_{1}: \eta = \frac{W}{Q_{1}}.Como em um ciclo W = Q_{1} - Q_{2}, onde Q_{2} é o calor rejeitado para a fonte fria, outra forma útil é \eta = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1}}.Aqui estou adotando a convenção habitual: Q_{1}>0 é calor recebido da fonte quente, Q_{2}>0 é calor cedido à fonte fria.
  • Entropia e relação calor/entropia (intuição): para um processo reversível infinitesimal, a variação de entropia do sistema é dS = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},isto é, para processos reversíveis temos \delta Q_{\text{rev}} = T\,dS. No diagrama T\!-\!S o calor trocado reversivelmente ao longo de uma trajetória é exatamente a área sob a curva T(S): Q_{\text{rev}} = \int T\,dS.Essa última fórmula vale estritamente para processos reversíveis (quase-estáticos e sem produção interna líquida de entropia na interação calorífica).
  • Desigualdade de Clausius (ferramenta central): para qualquer ciclo real (reversível ou não) vale a desigualdade de Clausius \oint \frac{\delta Q}{T} \le 0,com igualdade se e somente se o ciclo for inteiramente reversível. Nesta expressão T é a temperatura do reservatório (ou da superfície de contato) com o qual se troca o calor \delta Q. Essa desigualdade é a forma quantitativa da 2.ª lei da termodinâmica e será usada para obter o limite superior da eficiência. Vou explicar e usar essa desigualdade de forma direta e elementar no passo seguinte.

Passo 3

Aplicando a desigualdade de Clausius ao ciclo que troca calor apenas com duas fontes a T_{1} e T_{2}.
  • Considere que, durante o ciclo, a máquina absorve total Q_{1} da fonte quente à temperatura T_{1} e rejeita total Q_{2} para a fonte fria à temperatura T_{2}. (Isto é a situação típica: trocas principais ocorrem com essas duas temperaturas extremas.)
  • A desigualdade de Clausius escrita para este ciclo torna-se (as únicas contribuições de calor ocorrem nesses dois contatos) \oint \frac{\delta Q}{T} = \frac{Q_{1}}{T_{1}} - \frac{Q_{2}}{T_{2}} \le 0.Aqui estou assumindo que Q_{1} é trocado com um reservatório a temperatura T_{1} e Q_{2} com um reservatório a T_{2}, de modo que os termos aparecem na forma \pm Q_i/T_i com sinal positivo para calor recebido e negativo para calor cedido.
  • Reorganizando essa desigualdade obtenho \frac{Q_{1}}{T_{1}} \le \frac{Q_{2}}{T_{2}} \quad\Longrightarrow\quad Q_{2} \ge \frac{T_{2}}{T_{1}}\,Q_{1}.

Passo 4

Da desigualdade para a eficiência.
  • Usando a expressão \eta = 1 - \dfrac{Q_{2}}{Q_{1}} e a desigualdade obtida Q_{2} \ge \dfrac{T_{2}}{T_{1}}Q_{1}, temos \eta = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1}} \le 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}.
  • Portanto, a eficiência de qualquer máquina térmica (real) que opere trocando calor apenas com dois reservatórios a T_{1} e T_{2} satisfaz \eta \le 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}.

Passo 5

Quando ocorre igualdade (ligação com o ciclo de Carnot).
  • A desigualdade de Clausius tem igualdade se e somente se o ciclo for reversível em todas as partes (isto é, não houver produção de entropia interna durante o ciclo). Assim a condição de igualdade \eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}ocorre somente para ciclos reversíveis.
  • O ciclo reversível ideal que atinge essa eficiência é o ciclo de Carnot. Logo o limite superior 1 - T_{2}/T_{1} é exatamente a eficiência do ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas. Isso demonstra que nenhuma máquina real (irreversível) pode superar a máquina de Carnot, e todos os ciclos reversíveis têm a mesma eficiência de Carnot.

Passo 6

Interpretação geométrica no diagrama T\!-\!S (intuição visual conforme a sugestão).
  • Para processos reversíveis podemos identificar o calor trocado com a área sob a curva T(S): Q=\int T\,dS. O ciclo de Carnot no diagrama T\!-\!S é um retângulo formado por duas isotermas horizontais em T_{1} e T_{2} e duas linhas verticalmente isentrópicas (adiabáticas reversíveis). Nesse retângulo:
    • O calor absorvido na isoterma quente vale Q_{1}^{\text{Carnot}} = T_{1}\,\Delta S.
    • O calor rejeitado na isoterma fria vale Q_{2}^{\text{Carnot}} = T_{2}\,\Delta S.
    • A eficiência é então 1 - T_{2}/T_{1}.
  • Para um ciclo reversível qualquer que tenha a mesma temperatura máxima T_{1} e mínima T_{2}, ao percorrer a curva no T\!-\!S a área sob a parte “de absorção” vale \int_{\text{absorção}} T\,dS \le T_{1}\Delta Sçã (porque ao longo da absorção T\le T_{1}) e a área sob a parte “de rejeição” satisfaz \int_{\text{rejeição}} T\,dS \ge T_{2}\Delta Sçã (porque ao longo da rejeição T\ge T_{2}), onde \Delta S é a variação de entropia entre os pontos de contato quente e frio para o fluxo útil. Assim geometricamente a “largura” em S multiplicada por T_{1} produz a maior área de entrada possível e multiplicada por T_{2} a menor área de rejeição possível — isso corresponde exatamente ao retângulo de Carnot, que maximiza a diferença Q_{1}-Q_{2} e, portanto, a eficiência.
  • Observação: a argumentação geométrica usando áreas sob curvas requer que os trocos de calor possam ser escritos como \int T\,dS, logo é direta para processos reversíveis (quase-estáticos). A prova rigorosa e geral para processos irreversíveis é a que usamos antes, baseada na desigualdade de Clausius, que não assume reversibilidade.

Passo 7

Resumo final e incentivo.
  • Concluímos de forma rigorosa (pela desigualdade de Clausius) que, para qualquer ciclo real que interaja com duas fontes a T_{1} e T_{2}, \eta \le 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}.
  • A igualdade é obtida apenas se o ciclo for totalmente reversível — e o ciclo reversível ideal que realiza essa igualdade é o ciclo de Carnot. Em linguagem de prova: a máquina de Carnot é a mais eficiente possível entre duas temperaturas fixas.
  • Força nos estudos — essa é uma demonstração clássica e muito útil para a prova. Se quiser, faço agora o mesmo raciocínio escrito de outra forma (mais geométrica ou com um exemplo numérico) para fixar.

Resposta

\displaystyle \eta \le 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}, com igualdade apenas para o ciclo de Carnot.

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