1. Calcule a densidade em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} do \mathrm{ZrO}_{2} que tem a estrutura do \mathrm{CaF}_{2}. Os raios iônicos são: \mathrm{Zr}^{4+} =0,087 \mathrm{~nm} ; \mathrm{O}^{2-}=0,132 \mathrm{~nm}. Massas atômicas: \quad \mathrm{Zr}=91,22 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \mathrm{O}=16 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.
  2. Calcule o fator de empacotamento iônico do \mathrm{SrSnO}_{3}, o qual tem estrutura do tipo perovskita. Os raios iônicos são \mathrm{Sr}^{2+}=0,127 \mathrm{~nm}, \mathrm{Sn}^{4+}=0,074 \mathrm{~nm} e \mathrm{O}^{2-}=0,132 \mathrm{~nm}. Considere o parâmetro de rede \mathrm{a}=2\left(\mathrm{R}_{\mathrm{Sn} 4+}+\mathrm{R}_{\mathrm{o} 2-}\right).

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de química dos sólidos:
  1. Calcular a densidade em \mathrm{g/cm^3} do \mathrm{ZrO_2} que cristaliza na estrutura tipo fluorita \mathrm{CaF_2}.
  2. Calcular o fator de empacotamento iônico (PF) do \mathrm{SrSnO_3} em estrutura perovskita, tomando o parâmetro de rede \displaystyle a=2\bigl(R_{\mathrm{Sn}^{4+}}+R_{\mathrm{O}^{2-}}\bigr).
Para o item 1 vamos precisar
  • do número de fórmulas por cela cúbica (fluorita: 4 cátions e 8 ânions),
  • da relação geométrica entre raio e parâmetro de rede,
  • da massa da cela e do seu volume.
Para o item 2 usamos
  • a definição de PF como razão entre o volume total dos íons na cela e o volume da cela,
  • volumes esféricos individuais \tfrac{4}{3}\pi R^3.

Passo 2

Estrutura fluorita de \mathrm{ZrO_2}
Na estrutura tipo \mathrm{CaF_2} a cela cúbica contém 4 cátions \mathrm{Zr}^{4+} e 8 ânions \mathrm{O}^{2-}. O contato catião–ânion ocorre ao longo do vetor do cátio em (0,0,0) até o ânion em \bigl(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14\bigr), cuja distância é
d = \Bigl|\bigl(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14\bigr)\Bigr|\,a = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a
mas também d=R_{\mathrm{Zr}^{4+}}+R_{\mathrm{O}^{2-}}.

Passo 3

Da igualdade \displaystyle \frac{\sqrt3}{4}\,a = R_{\mathrm{Zr}^{4+}} + R_{\mathrm{O}^{2-}} segue
a = \frac{4}{\sqrt3}\,\bigl(0,087 + 0,132\bigr)\,\mathrm{nm} = \frac{4\times0,219}{1,732}\,\mathrm{nm} \approx 0,5057\,\mathrm{nm} =5,057\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.

Passo 4

A massa da cela (em g) é a soma das massas atômicas por mol multiplicada pelo número de cada íon e dividida por N_A:
m_{\rm cela} =\frac{4\times91,22 + 8\times16}{N_A} =\frac{492,88}{6,022\times10^{23}} \approx8,186\times10^{-22}\,\mathrm{g}.
O volume da cela é
V_{\rm cela} =a^3 =(5,057\times10^{-8})^3 \approx1,292\times10^{-22}\,\mathrm{cm^3}.

Passo 5

Assim, a densidade é
\rho = \frac{m_{\rm cela}}{V_{\rm cela}} \approx\frac{8,186\times10^{-22}}{1,292\times10^{-22}} \approx6,33\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 6

Fator de empacotamento iônico em perovskita
Na perovskita \mathrm{ABO_3} cúbica a cela contém 1 cátion A (cantos), 1 cátion B (centro) e 3 ânions O (centros de face). O PF é
\text{PF} =\frac{\sum_i n_i\;\tfrac{4}{3}\pi R_i^3}{a^3}.

Passo 7

Dados: \displaystyle a=2\bigl(R_{\mathrm{Sn}^{4+}}+R_{\mathrm{O}^{2-}}\bigr) =2(0,074+0,132)\,\mathrm{nm}=0,412\,\mathrm{nm}=4,12\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.
Volumes individuais:
V_{A}=\tfrac{4}{3}\pi(1,27\times10^{-8})^3\!,\quad V_{B}=\tfrac{4}{3}\pi(7,4\times10^{-9})^3\!,\quad V_{O}=\tfrac{4}{3}\pi(1,32\times10^{-8})^3.

Passo 8

Calculando numericamente (em cm ^3) e somando 1 Sr, 1 Sn e 3 O:
\sum_i n_iV_i \approx8,58\times10^{-24} +1,70\times10^{-24} +3\times9,64\times10^{-24} \approx3,919\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3},
a^3=(4,12\times10^{-8})^3\approx6,99\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3}.
Logo
\text{PF} =\frac{3,919\times10^{-23}}{6,99\times10^{-23}} \approx0,56.

Resposta

Densidade do \mathrm{ZrO_2}: aproximadamente 6,33\\ \mathrm{g/cm^3}.
Fator de empacotamento iônico do \mathrm{SrSnO_3}: aproximadamente 0,56.

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