Calcule a energia e a potência para os seguintes sinais e determine se cada sinal é um sinal de energia, sinal de potência ou nenhum dos dois.
\begin{aligned} & x(t)=4 \sin (2 \pi t),-\infty<t<\infty . \\\ & x(t)=2 e^{-2|t|},-\infty<t<\infty . \\\ & x(t)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2}{\sqrt{t}} & t>1 \\\\ 0 & t \leq 1 . \end{array}\right. \\\ & x(t)=e^{-a t} \text { for real value of } a \\\ & x(t)=\cos (t) \\\ & x(t)=e^{j\left(2 t+\frac{\pi}{4}\right)} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede, para cada um dos seis sinais dados, que eu calcule a energia e a potência e determine se o sinal é um sinal de energia, um sinal de potência ou nenhum dos dois. Os sinais fornecidos são (vou repetir exatamente como no enunciado para ficar claro):
\begin{aligned} &\text{(a)}\quad x(t)=4\sin(2\pi t),\\\ -\infty<t<\infty.\\\ &\text{(b)}\quad x(t)=2e^{-2|t|},\\\ -\infty<t<\infty.\\\ &\text{\text{(c)}}\quad x(t)=\begin{cases}\dfrac{2}{\sqrt{t}},& t>1,\\[4pt]0,& t\le 1.\end{cases}\\\ &\text{(d)}\quad x(t)=e^{-a t}\quad\text{para valor real de } a.\\\ &\text{(e)}\quad x(t)=\cos(t).\\\ &\text{(f)}\quad x(t)=e^{j\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)}. \end{aligned}
As perguntas a responder, para cada item, são portanto: calcular a energia E, calcular a potência média P e classificar o tipo de sinal (energia / potência / nenhum).]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Energia de um sinal contínuo x(t):
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt.
Aqui |x(t)|^2 é o quadrado da magnitude de x(t). Se x for real, |x(t)|^2=x(t)^2. Se for complexo, |x(t)|^2=x(t)x^*(t) onde x^* é o conjugado complexo.
  • Potência média (média de |x(t)|^2 ao longo do tempo) definida como:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt.
Interpretação: é a energia por unidade de tempo em média.
  • Classificação:
    • Sinal de energia: se 0< E < \infty. Para sinais de energia típicos a potência média P=0.
    • Sinal de potência: se 0< P < \infty. Para sinais de potência típicos a energia total E=\infty.
    • Se nem E é finita nem P é finita na forma apropriada (por exemplo E=\infty e P=0, ou P=\infty), dizemos “nenhum dos dois”.
  • Dica prática: para sinais periódicos (como seno e cosseno), é mais fácil calcular P usando a média em um período:
P=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}|x(t)|^2\,dt,
onde T_0 é o período. Para senos/cossenos a média de \sin^2 ou \cos^2 é 1/2.
Vou aplicar essas fórmulas item a item, explicando cada passo e as identidades usadas.

Passo 3

Primeiro identifique que é um sinal periódico. A frequência angular é \omega=2\pi\cdot 1 então o período é T_0=1.
Calcule |x(t)|^2:
|x(t)|^2 = (4\sin(2\pi t))^2 = 16\sin^2(2\pi t).
Usamos que a média de \sin^2 num período é 1/2. Explicando por que: \sin^2\theta = \tfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Integrando \cos(2\theta) sobre um período completo dá zero, sobram 1/2.
Portanto a potência P é
P=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}16\sin^2(2\pi t)\,dt = 16\cdot\frac{1}{2}=8.
Energia E: sendo sinal periódico não nulo, a energia ao longo de todo o tempo diverge:
E=\int_{-\infty}^{\infty}16\sin^2(2\pi t)\,dt = \infty.
Classificação: energia infinita e potência finita positiva \Rightarrow sinal de potência.

Passo 4

Calcule |x(t)|^2:
|x(t)|^2 = (2e^{-2|t|})^2 = 4e^{-4|t|}.
Energia:
E=\int_{-\infty}^{\infty}4e^{-4|t|}\,dt.
Como a função é par (depende de |t|), podemos escrever
E = 2\int_{0}^{\infty}4e^{-4t}\,dt = 8\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,dt.
Calcule a integral exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,dt = \left[-\frac{1}{4}e^{-4t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{4}.
Logo
E = 8\cdot\frac{1}{4} = 2.
Então a energia é finita e igual a 2.
Potência média P: para sinais com energia finita, sempre vale P=0 (porque \frac{E}{2T}\to0 quando T\to\infty). Se quiser ver direto:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}4e^{-4|t|}\,dt \le \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot E =0.
Portanto P=0.
Classificação: 0< E=2<\infty e P=0\Rightarrow sinal de energia.

Passo 5

Primeiro calcule |x(t)|^2 no suporte onde é não nulo:
|x(t)|^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{t}}\right)^2 = \frac{4}{t},\qquad t>1.
Energia:
E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt = \int_{1}^{\infty}\frac{4}{t}\,dt.
Essa integral é
E = 4\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t}\,dt = 4\left[\ln t\right]_{1}^{\infty} = 4\cdot\infty = \infty.
Logo energia infinita.
Agora a potência média:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{1}^{T}\frac{4}{t}\,dt,
pois x(t)=0 para t\le1. Avaliando:
\frac{1}{2T}\int_{1}^{T}\frac{4}{t}\,dt = \frac{1}{2T}\cdot 4\ln T = \frac{2\ln T}{T}.
Como \ln T cresce mais lentamente que T, o quociente tende a zero quando T\to\infty:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{2\ln T}{T}=0.
Portanto E=\infty e P=0. Isso não se enquadra nem como sinal de energia (energia não finita) nem como sinal de potência (potência zero). Classificação: nenhum dos dois.

Passo 6

Vamos analisar |x(t)|^2\): \[|x(t)|^2 = e^{-2a t}.
Avaliaremos energia e potência dependendo do valor de a.
Energia:
E=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2a t}\,dt.
Essa integral converge somente se a exponencial decai nas duas extremidades simultaneamente, o que é impossível para função e^{-2a t} em todo (-\infty,\infty) com a real (pois se decai quando t\to\infty aumenta quando t\to -\infty, e vice-versa). Formalmente, para a>0 o integrando cresce quando t\to -\infty e integral diverge; para a<0 o integrando cresce quando t\to\infty e diverge; para a=0 temos integrando =1 e integral claramente diverge. Conclusão:
E=\infty\quad\text{para todo } a\in\mathbb{R}.
Potência média:
Calcule a média direta:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{-2a t}\,dt.
Para a\neq 0 a integral é
\int_{-T}^{T} e^{-2a t}\,dt = \frac{e^{2aT}-e^{-2aT}}{2a}.
Logo
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot\frac{e^{2aT}-e^{-2aT}}{2a} = \lim_{T\to\infty}\frac{e^{2aT}-e^{-2aT}}{4aT}.
  • Se a>0: e^{2aT} domina e o numerador cresce exponencialmente, portanto P=\infty.
  • Se a<0: e^{-2aT}=e^{2|a|T} domina e novamente o numerador cresce exponencialmente em magnitude, e P=\infty (o sinal pode ser tratado, mas a magnitude diverge).
  • Se a=0: x(t)=1 e |x|^2=1, então
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}1\,dt = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot 2T = 1.
Resumo para potência:
P=\begin{cases} 1,& a=0,\\[4pt] \infty,& a\ne 0. \end{cases}
Classificação final: para a=0\] temos \(E=\infty e 0< P=1<\infty logo é sinal de potência (é o sinal constante 1). Para a\ne 0 temos E=\infty e P=\infty (diverges), portanto não é nem sinal de energia nem sinal de potência (classificar como “nenhum dos dois”).]

Passo 7

Sinal periódico de amplitude 1 e período T_0=2\pi.
Calcule |x(t)|^2:
|x(t)|^2 = \cos^2(t).
Média sobre um período:
P=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2(t)\,dt.
Usamos a identidade \cos^2 t = \tfrac{1+\cos(2t)}{2}. A média de \cos(2t) sobre um período é zero, então a média de \cos^2 é 1/2. Portanto
P=\frac{1}{2}.
Energia: como é periódico não nulo, energia ao longo de todo o tempo diverge:
E=\infty.
Classificação: sinal de potência (energia infinita, potência 1/2).

Passo 8

Primeiro observe que x(t) é um complexo exponencial de módulo 1, pois
x(t)=e^{j\pi/4}e^{j2t},\qquad |x(t)| = |e^{j\pi/4}||e^{j2t}| = 1\cdot 1 =1.
Logo |x(t)|^2=1 para todo t. Portanto a potência média é
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}1\,dt =1.
Energia:
E=\int_{-\infty}^{\infty}1\,dt = \infty.
Classificação: sinal de potência (potência 1).

Resposta

(a) E=\infty,\\ P=8, sinal de potência.
(b) E=2,\\ P=0, sinal de energia.
(c) E=\infty,\\ P=0, nenhum dos dois.
(d) E=\infty para todo a. Para a=0: P=1 (sinal de potência). Para a\ne 0: P=\infty (nenhum dos dois).
(e) E=\infty,\\ P=\tfrac{1}{2}, sinal de potência.
(f) E=\infty,\\ P=1, sinal de potência.