Calcule a energia e a potência para os seguintes sinais e determine se cada sinal é um sinal de energia, sinal de potência ou nenhum dos dois.
\begin{aligned} & x(t)=4 \sin (2 \pi t),-\infty<t<\infty . \\\ & x(t)=2 e^{-2|t|},-\infty<t<\infty . \\\ & x(t)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2}{\sqrt{t}} & t>1 \\\\ 0 & t \leq 1 . \end{array}\right. \\\ & x(t)=e^{-a t} \text { for real value of } a \\\ & x(t)=\cos (t) \\\ & x(t)=e^{j\left(2 t+\frac{\pi}{4}\right)} \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede, para cada um dos seis sinais dados, que eu calcule a energia e a potência e determine se o sinal é um sinal de energia, um sinal de potência ou nenhum dos dois. Os sinais fornecidos são (vou repetir exatamente como no enunciado para ficar claro):
\begin{aligned} &\text{(a)}\quad x(t)=4\sin(2\pi t),\\\ -\infty<t<\infty.\\\ &\text{(b)}\quad x(t)=2e^{-2|t|},\\\ -\infty<t<\infty.\\\ &\text{\text{(c)}}\quad x(t)=\begin{cases}\dfrac{2}{\sqrt{t}},& t>1,\\[4pt]0,& t\le 1.\end{cases}\\\ &\text{(d)}\quad x(t)=e^{-a t}\quad\text{para valor real de } a.\\\ &\text{(e)}\quad x(t)=\cos(t).\\\ &\text{(f)}\quad x(t)=e^{j\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)}. \end{aligned}
As perguntas a responder, para cada item, são portanto: calcular a energia E, calcular a potência média P e classificar o tipo de sinal (energia / potência / nenhum).]
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
Energia de um sinal contínuo x(t):
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt.
Aqui |x(t)|^2 é o quadrado da magnitude de x(t). Se x for real, |x(t)|^2=x(t)^2. Se for complexo, |x(t)|^2=x(t)x^*(t) onde x^* é o conjugado complexo.
Potência média (média de |x(t)|^2 ao longo do tempo) definida como:
Interpretação: é a energia por unidade de tempo em média.
Classificação:
Sinal de energia: se 0< E < \infty. Para sinais de energia típicos a potência média P=0.
Sinal de potência: se 0< P < \infty. Para sinais de potência típicos a energia total E=\infty.
Se nem E é finita nem P é finita na forma apropriada (por exemplo E=\infty e P=0, ou P=\infty), dizemos “nenhum dos dois”.
Dica prática: para sinais periódicos (como seno e cosseno), é mais fácil calcular P usando a média em um período:
P=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}|x(t)|^2\,dt,
onde T_0 é o período. Para senos/cossenos a média de \sin^2 ou \cos^2 é 1/2.
Vou aplicar essas fórmulas item a item, explicando cada passo e as identidades usadas.
Passo 3
Primeiro identifique que é um sinal periódico. A frequência angular é \omega=2\pi\cdot 1 então o período é T_0=1.
Calcule |x(t)|^2:
|x(t)|^2 = (4\sin(2\pi t))^2 = 16\sin^2(2\pi t).
Usamos que a média de \sin^2 num período é 1/2. Explicando por que: \sin^2\theta = \tfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Integrando \cos(2\theta) sobre um período completo dá zero, sobram 1/2.
\frac{1}{2T}\int_{1}^{T}\frac{4}{t}\,dt = \frac{1}{2T}\cdot 4\ln T = \frac{2\ln T}{T}.
Como \ln T cresce mais lentamente que T, o quociente tende a zero quando T\to\infty:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{2\ln T}{T}=0.
Portanto E=\infty e P=0. Isso não se enquadra nem como sinal de energia (energia não finita) nem como sinal de potência (potência zero). Classificação: nenhum dos dois.
Avaliaremos energia e potência dependendo do valor de a.
Energia:
E=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2a t}\,dt.
Essa integral converge somente se a exponencial decai nas duas extremidades simultaneamente, o que é impossível para função e^{-2a t} em todo (-\infty,\infty) com a real (pois se decai quando t\to\infty aumenta quando t\to -\infty, e vice-versa). Formalmente, para a>0 o integrando cresce quando t\to -\infty e integral diverge; para a<0 o integrando cresce quando t\to\infty e diverge; para a=0 temos integrando =1 e integral claramente diverge. Conclusão:
Se a>0: e^{2aT} domina e o numerador cresce exponencialmente, portanto P=\infty.
Se a<0: e^{-2aT}=e^{2|a|T} domina e novamente o numerador cresce exponencialmente em magnitude, e P=\infty (o sinal pode ser tratado, mas a magnitude diverge).
Classificação final: para a=0\] temos \(E=\infty e 0< P=1<\infty logo é sinal de potência (é o sinal constante 1). Para a\ne 0 temos E=\infty e P=\infty (diverges), portanto não é nem sinal de energia nem sinal de potência (classificar como “nenhum dos dois”).]
Passo 7
Sinal periódico de amplitude 1 e período T_0=2\pi.
Calcule |x(t)|^2:
|x(t)|^2 = \cos^2(t).
Média sobre um período:
P=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2(t)\,dt.
Usamos a identidade \cos^2 t = \tfrac{1+\cos(2t)}{2}. A média de \cos(2t) sobre um período é zero, então a média de \cos^2 é 1/2. Portanto
P=\frac{1}{2}.
Energia: como é periódico não nulo, energia ao longo de todo o tempo diverge:
E=\infty.
Classificação: sinal de potência (energia infinita, potência 1/2).
Passo 8
Primeiro observe que x(t) é um complexo exponencial de módulo 1, pois
(a) E=\infty,\\ P=8, sinal de potência.
(b) E=2,\\ P=0, sinal de energia.
(c) E=\infty,\\ P=0, nenhum dos dois.
(d) E=\infty para todo a. Para a=0: P=1 (sinal de potência). Para a\ne 0: P=\infty (nenhum dos dois).
(e) E=\infty,\\ P=\tfrac{1}{2}, sinal de potência.
(f) E=\infty,\\ P=1, sinal de potência.