Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}((t-1) / 2) e h(t)=\delta(t)-4 e^{-4 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede a convolução
y(t)=x(t)*h(t)
onde
x(t)=\rect\bigl((t-1)/2\bigr)
e
h(t)=\delta(t)-4\,e^{-4t}u(t).
O conteúdo é convolução de sinais contínuos. Vamos usar a definição
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Para resolver, precisamos do suporte de x(\tau) e da propriedade do impulso \delta e da função exponencial causal.

Passo 2

Primeiro separamos a convolução em duas partes, usando superposição:
y(t) =\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau \;-\;4\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,e^{-4\,(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau.
Pela propriedade do impulso temos
\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau = x(t).
Então
y(t)=x(t)\;-\;4\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,e^{-4\,(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

O retângulo x(\tau)=\rect\bigl((\tau-1)/2\bigr) vale 1 se |(\tau-1)/2|\le1/2, ou seja \tau\in[0,2], e vale 0 fora. Além disso u(t-\tau)=1 apenas se t-\tau\ge0, i.e.\ \tau\le t. Logo a integral sobre \tau reduz-se a
\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,e^{-4(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{\min(t,2)}e^{-4(t-\tau)}\,d\tau.

Passo 4

Calculamos a integral exponencial:
\int_{0}^{\min(t,2)}e^{-4(t-\tau)}\,d\tau =e^{-4t}\int_{0}^{\min(t,2)}e^{4\tau}\,d\tau =e^{-4t}\,\frac{e^{4\min(t,2)}-1}{4}.
Multiplicando por -4 obtemos a segunda parcela da convolução:
-4\int_{0}^{\min(t,2)}e^{-4(t-\tau)}\,d\tau =-\,e^{-4t}\bigl(e^{4\min(t,2)}-1\bigr).

Passo 5

Agora juntamos com x(t)\). Note que \[x(t)= \begin{cases} 1,&0\le t\le2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Assim
y(t) =x(t)\;-\;e^{-4t}\bigl(e^{4\min(t,2)}-1\bigr).
Dividindo em trechos:
**(i) Para t<0\]:** \(x(t)=0 e u(t-\tau)=0 impede contribuição, logo
y(t)=0.
(ii) Para 0\le t<2: tem \min(t,2)=t e x(t)=1, então
y(t)=1 \;-\;e^{-4t}\bigl(e^{4t}-1\bigr) =1-\bigl(1-e^{-4t}\bigr) =e^{-4t}.
(iii) Para t\ge2: tem \min(t,2)=2 e x(t)=0, então
y(t) =0 \;-\;e^{-4t}\bigl(e^{8}-1\bigr) =-(e^{8}-1)\,e^{-4t}.

Resposta

A saída y(t)\) é a função \[y(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\\ e^{-4t},&0\le t<2,\\\\ -\,(e^{8}-1)\,e^{-4t},&t\ge2. \end{cases}
Esboço qualitativo de y(t)\]: - Para \(t<0, vale zero.
- De t=0 até t=2, decai exponencialmente de 1 até e^{-8}.
- Em t=2 ocorre salto para -(1-e^{-8}), e para t>2 decai negativamente como -(e^{8}-1)e^{-4t}, tendendo a zero de baixo para cima.

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