Calcule Z e V para o etileno a 25^{\circ} \mathrm{C} e 12 bar, com as seguintes equações:
Equação virial truncada [Eq. (3.38)], com os seguintes valores experimentais dos coeficientes virial:
B=-140 \mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \quad C=7200 \mathrm{~cm}^{6} \cdot \mathrm{~mol}^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fator de compressibilidade Z e o volume molar V do etileno à temperatura 25^\circ\mathrm{C} e pressão 12\\ \mathrm{bar}, usando a equação virial truncada com os coeficientes experimentais fornecidos. Dados fornecidos:
  • Pressão: P=12\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Segundo coeficiente virial: B=-140\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
  • Terceiro coeficiente virial: C=7200\\ \mathrm{cm}^6\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-2}.
O que precisa ser entregue:
  • Z (fator de compressibilidade) para etileno nas condições dadas.
  • V (volume molar) correspondente.

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo em unidades SI e escrever a forma adequada da equação virial truncada que vamos usar.
Conversões e constantes:
  • 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • 12\\ \mathrm{bar}=12\times10^5\\ \mathrm{Pa}=1{,}2\times10^6\\ \mathrm{Pa}.
  • B=-140\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}=-140\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}=-1{,}40\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
  • C=7200\\ \mathrm{cm}^6\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-2}=7200\times10^{-12}\\ \mathrm{m}^6\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-2}=7{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^6\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-2}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{K}^{-1}.
  • Produto RT: RT = 8{,}314462618 \times 298{,}15 \approx 2478{,}95703\\ \mathrm{J}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Forma da equação virial (truncada em potências de 1/V, muito usada experimentalmente):
Z \equiv \frac{P V}{R T} = 1 + \frac{B}{V} + \frac{C}{V^2},
onde V é o volume molar (unidade: \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}). Essa equação relaciona Z e V implicitamente; substituindo Z=PV/(RT) obtemos uma equação algébrica para V.

Passo 3

Derivando a equação para obter um polinômio em V:
A partir de \dfrac{P V}{R T}=1+\dfrac{B}{V}+\dfrac{C}{V^2}, multiplica-se ambos os lados por V^2:
P V^3 = R T\,V^2 + R T\,B\,V + R T\,C.
Reorganizando:
P V^3 - R T\,V^2 - R T\,B\,V - R T\,C = 0.
Agora substituímos os valores numéricos (tudo em SI):
  • P=1{,}2\times10^6\\ \mathrm{Pa}.
  • RT\approx 2478{,}95703\\ \mathrm{J}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
  • B=-1{,}40\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
  • C=7{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^6\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-2}.
Coeficientes numéricos do polinômio a_3 V^3 + a_2 V^2 + a_1 V + a_0 = 0:
a_3 = P = 1{,}2\times10^6, \qquad a_2 = -RT \approx -2478{,}95703,
a_1 = -RT\,B \approx -2478{,}95703\times(-1{,}40\times10^{-4}) \approx 0{,}3470539842,
a_0 = -RT\,C \approx -2478{,}95703\times7{,}20\times10^{-9} \approx -1{,}7848490616\times10^{-5}.
Podemos dividir a equação por a_3 para ter a forma normalizada (mais conveniente numericamente):
V^3 - 0{,}002065797525\,V^2 + 2{,}892116535\times10^{-7}\,V - 1{,}487374218\times10^{-11} = 0.

Passo 4

Resolver o polinômio: como a equação é não linear, uma estratégia simples e prática (rápida para prova) é usar o volume molar ideal como chute inicial e iterar usando a própria forma virial. Procedimento (fix-point razoável aqui):
  1. Chute inicial pela equação dos gases ideais:
V^{(0)} = \frac{RT}{P} \approx \frac{2478{,}95703}{1{,}2\times10^6} \approx 0{,}002065797525\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
  1. A cada iteração calcula-se o Z pelo lado direito da virial e atualiza-se V por V^{(\text{novo})} = Z\,RT/P. Repetir até convergir.
Iterações (mostrar os passos para aprender a aplicar na prova):
Iteração 0 (ideal):
V^{(0)} = 0{,}002065797525\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Calcular Z pela virial:
Z^{(0)} = 1 + \frac{B}{V^{(0)}} + \frac{C}{(V^{(0)})^2}.
Substituindo os números:
\frac{B}{V^{(0)}}=\frac{-1{,}40\times10^{-4}}{0{,}002065797525}\approx -0{,}067770, \qquad \frac{C}{(V^{(0)})^2}\approx 0{,}001687.
Logo
Z^{(0)}\approx 1 - 0{,}067770 + 0{,}001687 = 0{,}933917.
Atualiza V:
V^{(1)} = Z^{(0)}\frac{RT}{P} = 0{,}933917\times0{,}002065797525 \approx 0{,}0019289\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Iteração 1:
\frac{B}{V^{(1)}}\approx \frac{-1{,}40\times10^{-4}}{0{,}0019289}\approx -0{,}0726, \qquad \frac{C}{(V^{(1)})^2}\approx 0{,}001935.
Z^{(1)}\approx 1 - 0{,}0726 + 0{,}001935 = 0{,}929335,
V^{(2)} = 0{,}929335\times0{,}002065797525 \approx 0{,}0019200\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Iteração 2:
\frac{B}{V^{(2)}}\approx -0{,}07292,\qquad \frac{C}{(V^{(2)})^2}\approx 0{,}001954,
Z^{(2)}\approx 1 - 0{,}07292 + 0{,}001954 = 0{,}929037,
V^{(3)} = 0{,}929037\times0{,}002065797525 \approx 0{,}0019190\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Iteração 3:
Z^{(3)}\approx 0{,}928999\quad\Rightarrow\quad V^{(4)}\approx 0{,}0019189\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
A mudança está abaixo de 10^{-7}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}, ou seja, já há convergência prática. Portanto tomamos os valores convergidos.

Passo 5

Resultados finais (arredondados de forma prática para prova):
  • Volume molar convergido:
V \approx 0{,}0019189\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1} = 1918{,}9\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
  • Fator de compressibilidade correspondente:
Z = \frac{P V}{R T} \approx 0{,}928999 \approx 0{,}9290.
Interpretação curta e motivadora: Z<1 indica predomínio de interações atrativas (coerente com B<0). Pronto — com este procedimento (chute ideal + iterações pelo lado direito da virial) faz-se rapidamente na prova sem resolver explicitamente o polinômio cúbico por fórmula.

Resposta

Z \approx 0{,}9290
V \approx 0{,}0019189\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1} \;=\; 1918{,}9\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}

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