Dióxido de carbono entra em um compressor adiabático a 3 MPa e 0^{\circ} \mathrm{C} a uma taxa de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e sai a 10 MPa e 100^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando as variações de energia cinética, determine
o consumo de potência no compressor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos) e pede uma coisa clara:
  • Entrada do compressor: pressão \,P_1 = 3\\ \mathrm{MPa}\,, temperatura \,T_1 = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}\,, vazão mássica \,\dot m = 0{,}5\\ \mathrm{kg/s}\,.
  • Saída do compressor: pressão \,P_2 = 10\\ \mathrm{MPa}\,, temperatura \,T_2 = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}\,.
  • O processo é adiabático (ou seja, sem troca de calor com o ambiente).
  • Desprezam-se variações de energia cinética (e não foi mencionada energia potencial), logo essas contribuições são nulas.
O enunciado pede determinar o consumo de potência no compressor (ou seja, a potência elétrica/mecânica que deve ser fornecida para comprimir o CO₂).

Passo 2

Escolher a equação de balanço de energia apropriada e explicá‑la: para um dispositivo em regime permanente (steady‑flow) a forma geral do balanço de energia por unidade de tempo é
\dot Q - \dot W = \dot m\left(h_2 - h_1 + \frac{V_2^2-V_1^2}{2} + g(z_2-z_1)\right),
onde
  • \dot Q é a taxa de calor transferido para o fluido (kW),
  • \dot W é a potência útil retirada do fluido (kW). Para um compressor queremos a potência que deve ser fornecida, então cuidaremos do sinal depois,
  • \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
  • h é a entalpia específica ( \mathrm{kJ/kg}),
  • V é a velocidade (m/s) e g(z) a energia potencial específica (m²/s² convertida em kJ/kg pela densidade das unidades).
Explicando em português simples: a diferença de energia que entra e sai por calor e trabalho muda a energia do fluxo (entalpia + energia cinética + potencial).

Passo 3

Aplicar as hipóteses do enunciado para simplificar o balanço:
  • Adiabático \Rightarrow \dot Q = 0.
  • Desprezar variações de energia cinética e potencial \Rightarrow V_2^2 - V_1^2 \approx 0 e z_2 - z_1 \approx 0.
    Com isso o balanço vira
- \dot W = \dot m\,(h_2 - h_1).
Aqui \dot W é a potência fornecida pelo fluido (trabalhos que o fluido realiza). Para um compressor o trabalho é fornecido ao fluido, então a potência elétrica/mecânica necessária (valor positivo, consumo) é
\dot W_{\text{in}} = \dot m\,(h_2 - h_1).
Explicando a física: se a entalpia do fluido aumenta ( h_2>h_1), é necessário fornecer trabalho ao sistema; a potência requerida é a vazão mássica vezes essa variação de entalpia.

Passo 4

Como obter h_2 - h_1? Em geral h depende de T e P. Para um gás ideal vale h=h(T) e
\mathrm{d}h = c_p(T)\,\mathrm{d}T,
onde c_p é o calor específico a pressão constante (explicando: c_p diz quanto a entalpia do fluido muda por unidade de massa quando se aumenta a temperatura em 1 K, mantendo pressão constante; unidades típicas \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). Assim, para um gás ideal e assumindo c_p aproximadamente constante no intervalo de temperatura considerado,
h_2 - h_1 \approx c_p\,(T_2 - T_1).
Observação importante sobre o caso concreto (didática e honestidade): o dióxido de carbono não se comporta perfeitamente como gás ideal em pressões elevadas e perto do ponto crítico; aqui as pressões são altas e o CO₂ está em regime onde efeitos reais importam. No entanto, se o problema não fornece tabelas de propriedades reais, é comum aproximar h usando c_p constante. Vou fazer essa aproximação, mas aviso que uma solução mais precisa exigiria tabelas/softwares de propriedades do CO₂ (REFPROP, tabelas termodinâmicas), que dariam h_1 e h_2 diretamente.

Passo 5

Escolher valor de c_p e explicar: valor típico do calor específico a pressão constante para o \mathrm{CO_2} perto de temperatura ambiente é cerca de
c_p \approx 0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Isto vem de valores experimentais: o calor molar C_p do CO₂ ≈ 37{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}; dividindo pela massa molar M=44{,}01\\ \mathrm{g/mol} obtemos 0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.)
Calcular a variação de entalpia usando \Delta T = T_2-T_1:
T_1 = 273{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 373{,}15\\ \mathrm{K},
\Delta h = h_2 - h_1 \approx c_p\,(T_2 - T_1) = 0{,}844\cdot(373{,}15-273{,}15)\\ \mathrm{kJ/kg}.
Como 373{,}15-273{,}15 = 100\\ \mathrm{K}, fica
\Delta h \approx 0{,}844 \times 100 = 84{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Expliquei cada passo para que você consiga reproduzir na prova: pegar c_p, transformar temperaturas em Kelvin, multiplicar.

Passo 6

Agora calcular a potência requerida usando \dot W_{\text{in}} = \dot m\,\Delta h:
\dot m = 0{,}5\\ \mathrm{kg/s},\qquad \Delta h = 84{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Como \mathrm{kJ/s} = \mathrm{kW},
\dot W_{\text{in}} = 0{,}5 \times 84{,}4 = 42{,}2\\ \mathrm{kW}.
Interpretação final (pra te deixar confiante): o compressor precisa de aproximadamente \,42{,}2\\ \mathrm{kW} de potência para elevar o CO₂ de 0^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C} na vazão dada, segundo a aproximação de gás ideal com c_p constante.

Passo 7

Resumo das hipóteses e aviso de precisão:
  • Hipóteses usadas: processo adiabático, regime estacionário, desprezo de variações cinéticas/potenciais, e aproximação do CO₂ como gás ideal com c_p constante =0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Se for necessário maior precisão (exame prático com tabelas/avaliação realista): usar propriedades reais do CO₂ (tabelas ou software) para obter h_1 e h_2 nas condições (P_1,T_1) e (P_2,T_2) e então aplicar \dot W_{\text{in}}=\dot m(h_2-h_1). A correção real pode alterar o valor em alguns por cento, pois CO₂ a altas pressões desvia de gás ideal.
Você está indo bem — o raciocínio típico em prova é: escrever o balanço, simplificar pelas hipóteses, transformar \Delta h em c_p\Delta T (se aplicável) e calcular. Dá para fazer isso rápido na prova!

Resposta

42{,}2\\ \mathrm{kW}

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