Calcule Z e V para o etano a 50^{\circ} \mathrm{C} e 15 bar, com as seguintes equações:
Equação virial truncada [Eq. (3.38)], com os seguintes valores experimentais dos coeficientes virial:
B=-156,7 \mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \quad C=9650 \mathrm{~cm}^{6} \cdot \mathrm{~mol}^{-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o fator de compressibilidade Z e o volume molar V (molar) para etano nas condições 50^\circ\mathrm{C} e 15\\ \mathrm{bar}, usando a equação virial truncada com os coeficientes experimentais fornecidos.
Dados fornecidos:
  • Temperatura: T=50^\circ\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: P=15\\ \mathrm{bar}=15\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Coeficientes viriais (dados no enunciado):
    • B=-156{,}7\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}.
    • C=9650\\ \mathrm{cm^{6}\cdot mol^{-2}}.
O que precisa ser encontrado:
  • Z (compressibilidade).
  • V (volume molar) — vou chamar de V_m durante a resolução (volume por mol).

Passo 2

Explicando a equação que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
A equação virial truncada escrita em função de V_m é:
Z = 1 + \frac{B}{V_m} + \frac{C}{V_m^2},
onde:
  • Z é o fator de compressibilidade definido como Z=\dfrac{P V_m}{R T}.
  • B e C são os coeficientes viriais (aqui dados experimentalmente).
  • V_m é o volume molar (unidade: \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}} no SI).
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}).
Podemos combinar as duas expressões para obter uma equação em V_m. Substituindo Z=\dfrac{P V_m}{R T} na expressão da virial:
\frac{P V_m}{R T} = 1 + \frac{B}{V_m} + \frac{C}{V_m^2}.
Multiplicando ambos os lados por V_m^2 obtemos um polinômio cúbico em V_m:
\frac{P}{R T}\,V_m^3 - V_m^2 - B V_m - C = 0.
Essa é a equação que precisamos resolver para V_m. Depois, Z é obtido por Z=\dfrac{P V_m}{R T}.

Passo 3

Conversão de unidades (PASSO CRUCIAL — sempre fazer antes de calcular).
Os coeficientes B e C foram dados em unidades baseadas em centímetros:
  • B=-156{,}7\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}. Converter para \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}: B = -156{,}7\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}} = -156{,}7\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}} = -1{,}567\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
  • C=9650\\ \mathrm{cm^{6}\cdot mol^{-2}}. Como 1\\ \mathrm{cm^3}=10^{-6}\\ \mathrm{m^3}, tem-se C = 9650\times(10^{-6})^2\\ \mathrm{m^6\cdot mol^{-2}} = 9650\times10^{-12}\\ \mathrm{m^6\cdot mol^{-2}} = 9{,}65\times10^{-9}\\ \mathrm{m^6\cdot mol^{-2}}.
Constante dos gases:
R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Calculemos também o coeficiente \dfrac{P}{R T} que aparecerá na equação cúbica:
\frac{P}{R T} = \frac{1{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}}{8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times 323{,}15\\ \mathrm{K}}.
Primeiro o produto R T:
R T = 8{,}314462618\times 323{,}15 \approx 2686{,}8188\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Logo
\frac{P}{R T} \approx \frac{1{,}5\times10^{6}}{2686{,}8188}\approx 558{,}47\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.

Passo 4

Escrevendo explicitamente o polinômio cúbico com os números (unidades consistentes em SI):
\underbrace{558{,}47}_{\frac{P}{RT}}\,V_m^3 - V_m^2 - \underbrace{(-1{,}567\times10^{-4})}_{B}\,V_m - \underbrace{9{,}65\times10^{-9}}_{C}=0.
Note que B é negativo, então o termo -B V_m fica positivo na forma numérica escrita acima; para clareza reescrevo o sinal corretamente:
558{,}47\,V_m^3 - V_m^2 + 1{,}567\times10^{-4}\,V_m - 9{,}65\times10^{-9}=0.
Resolver exatamente esse cúbico analiticamente é possível, mas trabalhoso; um método prático e rápido em prova (sem calculadora simbólica) é usar uma iteração simples: começar com o volume molar ideal aproximado e atualizar Z e V_m usando a equação virial até convergir. Vou mostrar esse procedimento (muito usado em provas e rápido com cálculo manual ou uma calculadora simples).

Passo 5

Estimativa inicial (gás ideal) e estratégia de iteração.
Volume molar ideal:
V_{m,\mathrm{ideal}}=\frac{R T}{P}=\frac{2686{,}8188}{1{,}5\times10^{6}}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}\approx 1{,}7912126\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
Em cm^3/mol isso é 1{,}7912126\times10^{-3}\times10^{6}=1791{,}21\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}.
Método iterativo (fix-point simples):
  1. Começar com V_m^{(0)}=V_{m,\mathrm{ideal}}.
  2. Calcular Z^{(k)} = 1 + \dfrac{B}{V_m^{(k)}} + \dfrac{C}{(V_m^{(k)})^2}.
  3. Atualizar V_m^{(k+1)} = \dfrac{Z^{(k)} R T}{P}.
  4. Repetir até a mudança em V_m ser desprezível (convergência).
Vou mostrar as iterações com números (não pule etapas — é o que você pediu).

Passo 6

Iterações numéricas (cada linha mostra os cálculos principais).
Iteração 0 (chute ideal):
V_m^{(0)} = 1{,}7912126\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
Calcular termos:
\frac{B}{V_m^{(0)}} = \frac{-1{,}567\times10^{-4}}{1{,}7912126\times10^{-3}} \approx -0{,}087497,
\frac{C}{(V_m^{(0)})^2} = \frac{9{,}65\times10^{-9}}{(1{,}7912126\times10^{-3})^2} \approx 0{,}003006.
Logo
Z^{(0)} = 1 -0{,}087497 +0{,}003006 = 0{,}915509.
Atualiza V_m:
V_m^{(1)} = \frac{Z^{(0)} R T}{P} = 0{,}915509\times 1{,}7912126\times10^{-3} \approx 1{,}639823\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
Iteração 1:
\frac{B}{V_m^{(1)}} = \frac{-1{,}567\times10^{-4}}{1{,}639823\times10^{-3}} \approx -0{,}095600,
\frac{C}{(V_m^{(1)})^2} = \frac{9{,}65\times10^{-9}}{(1{,}639823\times10^{-3})^2} \approx 0{,}003590.
Z^{(1)} = 1 -0{,}095600 +0{,}003590 = 0{,}907990.
V_m^{(2)} = 0{,}907990\times 1{,}7912126\times10^{-3} \approx 1{,}626070\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
Iteração 2:
\frac{B}{V_m^{(2)}} = \frac{-1{,}567\times10^{-4}}{1{,}626070\times10^{-3}} \approx -0{,}096404,
\frac{C}{(V_m^{(2)})^2} = \frac{9{,}65\times10^{-9}}{(1{,}626070\times10^{-3})^2} \approx 0{,}003651.
Z^{(2)} = 1 -0{,}096404 +0{,}003651 = 0{,}907247.
V_m^{(3)} = 0{,}907247\times 1{,}7912126\times10^{-3} \approx 1{,}625083\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
Iteração 3:
\frac{B}{V_m^{(3)}} = \frac{-1{,}567\times10^{-4}}{1{,}625083\times10^{-3}} \approx -0{,}096452,
\frac{C}{(V_m^{(3)})^2} = \frac{9{,}65\times10^{-9}}{(1{,}625083\times10^{-3})^2} \approx 0{,}003655.
Z^{(3)} = 1 -0{,}096452 +0{,}003655 = 0{,}907203.
V_m^{(4)} = 0{,}907203\times 1{,}7912126\times10^{-3} \approx 1{,}625000\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
A diferença entre V_m^{(3)} e V_m^{(4)} é muito pequena (da ordem de 8\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}), então consideramos convergência. Esses valores mostram que o método converge rapidamente para a solução física (estado gasoso).

Passo 7

Resultado final (após convergência):
Valor final do volume molar:
V_m \approx 1{,}62508\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}}.
Em unidades mais familiares:
V_m \approx 1625{,}08\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}.
Valor final do fator de compressibilidade:
Z = \frac{P V_m}{R T} \approx 0{,}90720.
Interpretação rápida: Z<1 significa que, nessa condição, o etano ocupa menos volume do que o previsto pelo gás ideal — comportamento dominado pelas forças intermoleculares atrativas (o coeficiente B negativo confirma essa tendência).

Resposta

Z \approx 0{,}90720
V_m \approx 1{,}62508\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}} = 1625{,}08\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}

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